En la figura, un cuarto de círculo, un semicírculo y un círculo son mutuamente tangentes dentro de un cuadrado de longitud de lado$2$. Encuentra el radio del circulo.

Question

En la figura, un cuarto de círculo, un semicírculo y un círculo son mutuamente tangentes en el interior de un cuadrado de lado de longitud $2$. Encontrar el radio del círculo.

Yo la primera vez que asumió que cuando se traza una línea vertical desde el radio del semicírculo, que la línea sea tangente al círculo más pequeño, y significa que el radio es $\frac{1}{4}$, pero la respuesta correcta era $\frac{2}{9}$. También he intentado usar geometría de coordenadas, pero me atoré porque no sabía cómo obtener la ecuación del círculo más pequeño.

Answer 1

Mira la imagen:

De $\triangle ABE$ tenemos $(2+r)^2= 2^2+(2-r)^2$ lo $r=1/2$. De $\square ECGF$ tenemos $CG^2=(1/2+s)^2-(1/2-s)^2= 2s$. De $\square ADGF$ tenemos $GD^2= (2+s)^2-(2-s)^2= 8s$. Por lo $2=CG+GD=3\sqrt 2\sqrt s$, por lo tanto $s=2/9$.

Answer 2

@SMM prueba está muy bien auto-contenida. Aquí está uno que invoca a la de Descartes "Besos Círculos", teorema, simplemente porque todo el mundo debe ser consciente de que el resultado.

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Deje que el trimestre-, semi-, y lleno de círculos de radio $a$, $b$, $c$, respectivamente.

Desde la derecha, triángulo, tenemos $$a^2+(a-b)^2=(a+b)^2 \quad\to\quad a=4b \tag{1}$$

Teniendo en cuenta el lado de la plaza un círculo de curvatura $0$, que en el caso especial de los Besos Círculos teorema implica $$\frac1{c} = \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\pm 2\sqrt{\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}} = \frac{5}{4b}\pm 2\sqrt{\frac{1}{4b^2}} = \frac{5\pm 4}{4b}\quad\to\quad c = \frac49 b \;\text{or}\; 4b\;\text{(extraneous}) \tag{2}$$

Luego, con $a=2$, tenemos $b=1/2$, por lo que $c=2/9$. $\square$

Answer 3

deje que el lado de la plaza se $a$.

Vamos a encontrar el radio x del semicírculo

Tenemos $$(a+x)^2 = a^2 + (a-x)^2$$ $$ x=\frac{a}{4} $$

Ahora, un lexema.

Si los círculos de radios R y r están tocando externamente, entonces la longitud de su tangente común es $2\sqrt{Rr}$

La prueba del lema: dibujar la tangente común y radios como en la figura. Hay un derecho de trapecio, con lo que conseguimos $(R+r)^2 = h^2 + (R-r)^2$, de donde $h = 2 \sqrt{Rr}$.

Ahora, vamos a usar el lema. Deje $y$ ser el radio del círculo pequeño. Tenemos $$a = 2\sqrt{ay} + 2 \sqrt{\frac{a}{4}y}$$ $$\sqrt{a} = 3 \sqrt{y} $$ $$y = \frac{a}{9}$$