Integral de $\frac{1}{\sqrt{x^2-x}}dx$

Question

Para una ecuación diferencial tengo que resolver la integral $\frac{dx}{\sqrt{x^2-x}}$ . Al final tengo que escribir la solución en la forma $ x = ...$ No importa si resuelvo la integral yo mismo o si uso una tabla para encontrar la integral. Sin embargo, la única integral útil en una tabla de integrales que pude encontrar fue: $$\frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}} = \frac{1}{\sqrt{a}} \ln \left|2ax + b +2\sqrt{a\left({ax^2+bx+c}\right)}\right|$$ Que en mi caso daría: $$\frac{dx}{\sqrt{x^2-x}} = \ln \left|2x -1 + 2\sqrt{x^2-x}\right|$$ Lo que me tiene luchando con los signos de valor absoluto ya que necesito extraer x de la solución. Todo lo que sé es que $x<0$ que tampoco parece ayudarme (la raíz cuadrada sólo será real si $x<-1$ ).

¿Existe alguna otra fórmula para resolver esta integral que no implique signos de valor absoluto o que permita extraer $x$ de la solución algo más fácil? Gracias.

Answer 1

Ajuste $$\sqrt{x^2-x}=t+x$$ obtenemos $$x=-\frac{t^2}{2t+1}$$ y $$dx=-\frac{2t(1+t)}{(1+2t)^2}dt$$ y nuestra integral es $$-2\int\frac{1}{2t+1}dt$$

Answer 2

Escriba

$$ \int \frac{ dx}{\sqrt{x^2 - x }} = \int \frac{ dx}{\sqrt{\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \left( \frac{1}{2}\right)^2}} = \int \frac{dz}{\sqrt{z^2 - \left( \frac{1}{2}\right)^2}}=\cdots$$

Answer 3

$$ \displaylines{ \sqrt {x^2 - x} = t + x \cr \Leftrightarrow x^2 - x = t^2 + 2xt + x^2 \cr \Leftrightarrow - x = t^2 + 2xt \cr - x = \frac{{t^2 }}{{1 + 2t}} \Rightarrow - dx = \frac{{2\left( {t^2 + 1} \right)}}{{\left( {1 + 2t} \right)^2 }}dt \cr \frac{{dx}}{{\sqrt {x^2 - x} }} = - \frac{{\frac{{2\left( {t^2 + 1} \right)}}{{\left( {1 + 2t} \right)^2 }}dt}}{{t - \frac{{t^2 }}{{1 + 2t}}}} \cr = \frac{{2\left( {t^2 + 1} \right)dt}}{{t\left( {1 + 2t} \right)\left( {t + 1} \right)}} \cr \frac{{2\left( {t^2 + 1} \right)}}{{t\left( {1 + 2t} \right)\left( {t + 1} \right)}} = \frac{\alpha }{t} + \frac{\beta }{{t + 1}} + \frac{\lambda }{{1 + 2t}} \cr} $$ $$\displaylines{ \frac{{2\left( {t^2 + 1} \right)}}{{t\left( {1 + 2t} \right)\left( {t + 1} \right)}} = \frac{\alpha }{t} + \frac{\beta }{{t + 1}} + \frac{\lambda }{{1 + 2t}} \cr = \frac{{\lambda \left( {t^2 + t} \right) + \beta \left( {2t^2 + t} \right) + \alpha \left( {2t^2 + 3t + 1} \right)}}{{t\left( {1 + 2t} \right)\left( {t + 1} \right)}} \cr = \frac{{t^2 \left( {\lambda + 2\beta + 2\alpha } \right) + t\left( {\lambda + \beta + 3\alpha } \right) + \alpha }}{{t\left( {1 + 2t} \right)\left( {t + 1} \right)}} \cr \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \alpha = 2 \\ \lambda + \beta + 6 = 0 \\ .\lambda + 2\beta + 4 = 2 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \alpha = 2 \\ \beta = 4 \\ \lambda = - 10 \\ \end{array} \right. \cr} $$ $$ \int {\frac{{2\left( {t^2 + 1} \right)dt}}{{t\left( {1 + 2t} \right)\left( {t + 1} \right)}}} = 2\ln \left( t \right) + 4\ln \left( {1 + t} \right) - 5\ln \left( {1 + 2t} \right) $$

$$\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {x^2 - x} }}} = \ln \left( {\frac{{\left( { - x + \sqrt {x^2 - x} } \right)^2 \left( {1 + \left( { - x + \sqrt {x^2 - x} } \right)} \right)^4 }}{{\left( {1 + 2\left( { - x + \sqrt {x^2 - x} } \right)} \right)^5 }}} \right)$$

Answer 4

$x^2-x\ge0\iff x\not\in(0,1)$ . Por lo tanto, tenemos que elegir si $x\ge1$ o $x\le0$ .

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Para $x\ge1$ , dejemos que $x=u+\frac12$ y $u=\frac12\sec(\theta)$ . Podemos suponer que $\theta\in[0,\frac\pi2)$ ya que eso da un rango completo para $x\ge1$ . Como se muestra en esta respuesta , $\int\sec(\theta)\,\mathrm{d}\theta=\log(\sec(\theta)+\tan(\theta))+C$ . Por lo tanto, $$ \begin{align} \int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2-x}} &=\int\frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{u^2-\frac14}}\\ &=\int\frac{\sec(\theta)\tan(\theta)\,\mathrm{d}\theta}{\tan(\theta)}\\[9pt] &=\log(\sec(\theta)+\tan(\theta))+C\\[9pt] &=\log\left(2x-1+2\sqrt{x^2-x}\right)+C \end{align} $$ Desde $2x-1+2\sqrt{x^2-x}\ge0$ para todos $x\ge1$ Los valores absolutos no son necesarios.

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Para $x\le0$ podemos suponer que $\theta\in(\frac\pi2,\pi]$ . Entonces, obtenemos $$ \int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2-x}}=\log\left(1-2x-2\sqrt{x^2-x}\right)+C $$ Desde $1-2x-2\sqrt{x^2-x}\ge0$ para todos $x\le0$ Los valores absolutos no son necesarios.

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Los valores absolutos son necesarios sólo si queremos intentar dar una solución para todos $x\not\in(0,1)$ . Sin embargo, como el intervalo de integración no puede abarcar $(0,1)$ debemos tener o bien $x\ge1$ o $x\le0$ .

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Dado que usted ha declarado que $x\lt0$ en su pregunta, eso significa que podemos usar la solución para $x\lt0$ : $$ \int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2-x}}=\log\left(1-2x-2\sqrt{x^2-x}\right)+C $$ y podemos resolver para $x$ . Si $$ u=\log\left(1-2x-2\sqrt{x^2-x}\right) $$ Entonces $$ \begin{align} e^u&=1-2x-2\sqrt{x^2-x}\\ \left(e^u+2x-1\right)^2&=4x^2-4x\\ e^{2u}+(4x-2)e^u+1&=0\\ x&=\frac12-\frac{e^u+e^{-u}}4\\ &=\frac12(1-\cosh(u)) \end{align} $$

Answer 5

$\sqrt{x}=z \implies\dfrac{dx}{2\sqrt{x}}=dz$

$\displaystyle\int\dfrac{dx}{\sqrt{x^2-x}}=\displaystyle\int\dfrac{dx}{\sqrt{x(x-1)}}=2\displaystyle\int\dfrac{ dz}{\sqrt{z^2-1}}$

$z=\sec \theta \implies dz=\sec \theta \tan \theta\ d\theta$

$\therefore \displaystyle\int\dfrac{ dz}{\sqrt{z^2-1}}=\displaystyle\int{\sec \theta \ d\theta}=\ln \left\lvert \sec\theta+\tan \theta\right\rvert+C$

$\therefore \displaystyle\int\dfrac{dx}{\sqrt{x^2-x}}=2\ln \left\lvert \sqrt{x}+\sqrt{x-1}\right\rvert+C'$

$$\color{blue}{\forall x \geq 1,\ \ln \left\lvert \sqrt{x}+\sqrt{x-1}\right\rvert=\ln \left( \sqrt{x}+\sqrt{x-1}\right)}$$