Los matemáticos definen los números reales de una manera abstracta, como un 'campo ordenado' con 'la propiedad de límite inferior superior'. En física, usamos números reales para representar distancias. Para que podamos hacer esto, necesitamos establecer lo siguiente:
Con cada distancia se puede asociar un número real.
Con cada número real, se puede asociar una distancia.
En otras palabras, una correspondencia uno a uno. ¿Hay alguna prueba de esto?
Tu pregunta parece ser: los reales como los definidos por los matemáticos se caracteriza por una muy asbtract estructura algebraica, así que ¿por qué tener nada que ver con las distancias?
Bien el punto de la Física es exactamente eso: utilizamos estructuras matemáticas para la construcción de modelos de cosas que se pueden medir.
El campo de los números reales es una estructura matemática. La distancia, por el otro lado, es algo que podemos medir. De hecho, es en un sentido definido por la forma en que se mide.
En el final de su pregunta es: ¿por qué el campo de reales como una estructura matemática es un buen modelo para las distancias?
Ahora, una posible respuesta es la siguiente. ¿Cómo podemos medir distancias? Bien, vamos a recoger algo para llamar nuestra unidad fundamental de la distancia, a continuación, tomamos dos ubicaciones $A$ e $B$, y nos preguntamos "¿cómo muchas copias de ese objeto de ajuste entre $A$ e $B$?"
Para ser concretos, imagine que usted tome un palo de madera como este objeto fundamental. Llamarlo $\mathcal{W}$. Está claro que es necesario $\mathcal{W},2\mathcal{W},\dots, n\mathcal{W}$ para cualquier número natural $n\in \mathbb{N}$ a ser capaces de medir las posibles distancias. El recuento de la propiedad de los naturales, a continuación, hacer un buen modelo.
Pero no es suficiente. De hecho, tome $A$ e $B$ a $\mathcal{W}$ aparte. Hay muchos lugares en el medio. ¿Cuáles son sus distancias a $A$? Claramente necesitamos ser capaces de hablar también acerca de $\frac{n}{m}\mathcal{W}$. Así las fracciones también se requiere para hacer un buen modelo de distancias. Así que terminamos con $\mathbb{Q}$.
Ahora usted puede decir: bien, pero ¿por qué reales que implican límites de Cauchy secuencias de $\mathbb{Q}$?
La respuesta es: tomar 2 copias de su palo de madera. Coloque una en horizontal y otra en vertical reunión en la ubicación de $O$, haciendo una $2$-dimensional sistema cartesiano. Ahora, vamos a $A$ ser el lugar llegó a caminar una unidad a lo largo de cada dirección. Se termina en el punto cruzando la diagonal de la plaza hecha por los palos de madera.
Sería razonable que la distancia a este punto de $A$ ser indefinido? Así, en la $\mathbb{Q}$ situación es. Pero si usted va a los reales, entonces no lo es. Es $\sqrt{2}\mathcal{W}$ distancia de $O$.
Así que al final, $\mathbb{Q}$ es un poco pobre modelo para largas distancias, mientras que $\mathbb{R}$ es buena. Así que utilizamos $\mathbb{R}$ para distancias porque es un buen modelo y mediante ella se obtiene predicciones que pueden ser verificados, y de acuerdo con las observaciones.
Por cierto, en el sistema internacional de unidades (SI) esta "distancia" se llama metro.
No hay ninguna prueba de ello. De hecho, esta cuestión corresponde a lo que suele denominarse la "Regla de Postular" en la jerga de la Escuela de Matemáticas del Grupo de Estudio de la 1960-1970 de la época, y se remonta a Hilbert axiomatization de la geometría Euclidiana, o que de Birkhoff.
Es necesario postular que los puntos sobre los geométricos (física) de la línea están en correspondencia con el número real de continuo como se ha construido matemáticamente. El gobernante postulado es independiente de los otros postulados. Hay modelos en los otros axiomas de Hilbert, pero donde la Regla Postulado no.
Hay al menos dos sentidos de lo que podría significar aquí. Ambos se han separado y distinto de los estándares de la prueba, y por tanto, es imposible suministrar la prueba. En ambos, la cuestión se reduce a que, fundamentalmente, "¿cuál es la estructura microscópica de los puntos en una línea?" Que es, "¿cómo podemos describir todos los puntos, entonces, de forma individual y en sus relaciones el uno al otro en un explícito, concreto manera basada en la indiscutible construcciones?" Hay, de hecho, matemáticamente, muchas, muchas maneras diferentes que usted puede matriz de puntos y muchos diferentes niveles de detalle con el que se puede hablar de tales arreglos que hace esta pregunta más pertinente y, definitivamente, lejos de ser evidente, como se podría pensar al principio de haber sido condicionado por la enseñanza, la perforación, y la reprimenda/"takemywordism".
No podemos dar una prueba de uno. En el primer caso, diferentes personas pueden tener diferentes intuiciones y, por otra parte, desde una perspectiva puramente formalmente vista matemático, esta tesis es como otros, tales como la "tesis de Church-Turing" respecto de cálculo: es básicamente una afirmación de una posición estándar en el significado de un término - aquí la "distancia" o "la microestructura de la línea", no, "cálculo" - que es inherentemente sujetas a la posibilidad de recurrir. El significado no es algo que puede ser comprobado/refutado: como la vieja pregunta de prescriptivism en idioma ilustra.
Para el segundo, podemos, en el mejor de refutar esta mostrando que existía, por ejemplo, una distancia mínima absoluta de la escala. (La longitud de Planck, por cierto, es simplemente una propuesta de tal magnitud - es no , por cualquier medio comprobado que esto es y, de hecho, puede haber alguna evidencia en contra de que sea así.) En realidad no podemos demostrar que la estructura del espacio físico realmente es la de la recta numérica real, o cualquier otra cosa que consiste en preguntas de lo que parece con una resolución infinita, porque todas nuestras mediciones empíricas sólo puede tener finito de resolución, si es por otra cosa que el simple hecho de que en realidad no podemos almacenar la infinita cantidad de información que un ser infinitamente medición precisa representaría. Esto significa que no hay empírica manera de distinguir el espacio físico de ser isomorfo a $\mathbb{R}$, o pixeladas espacio con el tamaño de grano, $10^{-\mbox{Graham's number}}\ \mbox{US survey feet}$. O, desde el hyperreal y surrealista de los números, o de más restringido, pero aún más los sistemas complejos, como los números computables, los cuales presentan diferencias en detalle en inaccesible infinitamente escamas finas. Todo lo que podemos suponer es que el espacio es al menos tan detallada y fina como la mejor de las mediciones que hemos hecho hasta ahora.
En la final, $\mathbb{R}$ es un modelo científico, igual que todas las otras partes de nuestro físico teorías son modelos, y que se utiliza para representar el espacio físico en todas las teorías que en realidad son validados empíricamente. En ningún momento debe ser un modelo que se supone ser la realidad, sino que es una historia que contar acerca de y el lenguaje que usamos para hablar dela realidad, y su validación empírica de que es una manera de hablar acerca de la realidad que es fiel a los mismos en que no nos llevan a creer que las cosas suceden que no o que no suceda que, en la medida de los mismos. Probablemente muchas, muchas otras historias que podría contar ahí que son tan buenos, pero para la cual la contingencia histórica efectivamente ha cegado nosotros.
Y la razón por la que el uso de $\mathbb{R}$ para la construcción de modelos es principalmente uno de conveniencia: $\mathbb{R}$ es muy agradable trabajar con matemáticamente. Conceptualmente, goza de una estructura simple: efectivamente, puede considerarse como el resultado natural de querer un sistema integrado, de la simplificación del sistema de numeración en el que usted puede hablar acerca de las mediciones en el arbitrarias niveles de precisión, hasta una "limpia" de precisión infinita que es útil para los teóricos de los efectos. (De hecho, no es demasiado difícil en absoluto para saltar de que a una definición formal o, al menos, axiomatization.) Por otra parte, como tal, termina siendo muy limpia cuando se trata de la formulación de las cosas como el cálculo, una herramienta indispensable de la práctica moderna, la física y la modelo científico-edificio.
Ninguna de las otras propuestas alternativas - y hay muchos - han, hasta ahora, se muestra a sí mismos a ser tan agradable para la construcción de modelos. Si la realidad no es tan agradable, bien, pero incluso si pudiéramos de alguna manera demostrar que, a $\mathbb{R}$ sería todavía siguen siendo muy útiles en el trabajo con aproximadas de modelos para situaciones donde se puede ignorar su verdadera estructura - por ejemplo, casi todos los de formación profesional y de las aplicaciones tecnológicas de hoy en día. Incluso hoy en día, se utiliza en casos donde nos hacen saber que el subyacente de los fenómenos no son realmente como $\mathbb{R}$, por ejemplo, muchas de crecimiento de la población de los modelos de describir la población como un número real, por lo que se puede recurrir a uno mismo de herramientas como el cálculo en la construcción de los mismos, aunque, por supuesto, sabemos que el real poblaciones de organismos reales, sólo puede ser números enteros. $\mathbb{R}$ es, literalmente, que muy bueno.
La física hace que los modelos de la realidad. Siempre hay alguna de la inexactitud o la aproximación de los involucrados. No sabemos la verdadera, la descripción exacta del universo.
Hay más de un modelo. La física clásica funciona bien para la mayoría de las situaciones. Cuando no, la mecánica cuántica o la relatividad puede proporcionar una respuesta más precisa. Cuando no son suficientes, hay qed o qcd.
Los números reales se utilizan en todos estos modelos. No necesitamos prueba aquí. Acabamos de definir distancias de los números reales o vectores.
Los modelos no perfectamente representar la realidad o nuestra capacidad para medir la realidad. E. G. de Dos números reales puede ser arbitrariamente cerca uno del otro o lejos. Hay números tan pequeños o tan grandes que no se puede medir la distancia correspondiente. Si llegan por debajo de la escala de Planck o sobre el tamaño del universo observable, no podemos siquiera decir si son correspondientes físicamente significativa distancias.
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