Ecuación de Burgers - Integrar discontinuidad sobre rectángulo

Question

Estoy estudiando leyes de conservación hiperbólicas de los sistemas, en particular, las Hamburguesas de la ecuación y los golpes, y tengo una duda, en la página 40 del libro de Métodos Numéricos para la Conservación de las Leyes por R. J. LeVeque (Birkäuser, 1992).

Yo no podía entender el siguiente cálculo:

Si una discontinuidad está presente, entonces la integración de $(u^2)_t + (\frac{2}{3}u^3)_x$ a través de una infinitesimal rectángulo como en la Figura 3.12 da $$\int_{x_1}^{x_2}u^2(x,t)\, dx \bigg|^{t_2}_{t_1} + \int_{t_1}^{t_2}\dfrac{2}{3}u^3(x,t)\, dt \bigg|^{x_2}_{x_1} = s_1\Delta t(u_l^2-u_r^2)+\dfrac{2}{3}\Delta t (u_r^3-u_l^3)+O(\Delta t^2)$$

donde

Tomamos un infinitesimal rectángulo sobre un choque y tienen $s_1=\tfrac{1}{2}(u_l+u_r)$. Aquí, $u_l$ es la solución de $u(x,0)$ a la izquierda de $x=0$ e $u_r$ es el valor de la derecha (de Riemann problema).

$O(\Delta t^2)$ significa que una cierta cantidad en función de $\Delta t^2$ ($<C\Delta t^2$ para algunos $C>0$, es correcto?), pero yo no podía entender el cálculo muy bien. Puede alguien explicar esto?

Answer 1

Tenga en cuenta que el choque, la velocidad no es constante, lo que explica la $\approx$ símbolos y la no lineal de choque ruta de acceso en la Fig. 3.12. En el libro, está escrito que

Suponiendo que $u$ es suavemente variable en cada lado de la descarga, y que el choque de la velocidad de $s(t)$ es, por consiguiente, también varían suavemente, tenemos la siguiente relación entre el $\Delta x$ e $\Delta t$: $$ \Delta x = s(t_1) \Delta t + O(\Delta t^2) . \tag{3.37} $$

que no es otra cosa sino una serie de Taylor de la conmoción camino de $x_s(t)$ a $t=t_1$: $$ x_s(t_1 + \Delta t) = x_s(t_1) + s(t_1) \Delta t + O(\Delta t^2) , $$ donde $s(t_1) = x'_s(t_1)$ es la velocidad de descarga y $\Delta x = x_s(t_1 + \Delta t) - x_s(t_1)$. Si $u$ es suavemente variable en cada lado de la descarga, podemos deducir a partir de series de Taylor de que $$ u(x,t)^n = \left\lbrace \begin{aligned} &{u_l}^n + O(\Delta t) & &\text{if}\quad x<x_s(t)\\ &{u_r}^n + O(\Delta t) & &\text{if}\quad x>x_s(t) \end{aligned} \right. $$ para todos los $n$ (ver libro de texto después de la Ecualización. $(3.38)$). La integración de $(u^2)_t + (\frac23 u^3)_x$ sobre la región de integración $\mathcal{D} = [x_1, x_2]\times [t_1, t_2]$ con $x_2 = x_1+\Delta x$ e $t_2 = t_1+\Delta t$, tenemos por un lado \begin{aligned} \iint_{\mathcal D} (u^2)_t \,\text dt\text dx &= \int_{x_1}^{x_2} (u^2)\,\text dx \bigg|_{t_1}^{t_2} \\ &= \Delta x \left({u_l}^2 - {u_r}^2\right) + O(\Delta t \Delta x) \\ &= s_1 \Delta t \left({u_l}^2 - {u_r}^2\right) + O(\Delta t^2) . \end{aligned} Por otro lado, \begin{aligned} \iint_{\mathcal D} (\tfrac23 u^3)_x \,\text dx\text dt &= \int_{t_1}^{t_2} (\tfrac23 u^3)\,\text dt \bigg|_{x_1}^{x_2} \\ &= \tfrac{2}{3} \Delta t \left({u_r}^3 - {u_l}^3\right) + O(\Delta t^2) , \end{aligned} lo que produce el resultado.