El teorema de separación de Jordan-Brouwer para las variedades topológicas: ¿es sencillo probar la existencia de la noción de "adentro"?

Question

Estoy familiarizado con un general de Jordan-Brouwer teorema de Separación para un pacto conectado suave colector de codimension $1$ en $\mathbb{R}^N$ (es decir, no sólo hyperspheres). Mi objetivo final es comprender mejor cómo analógico (en buen sentido) de este teorema que lleva a topológica de los colectores.

Esto, sin embargo, parece ser una profunda resultado que requiere de muy sofisticada maquinaria (para una persona no experta en el posgrado a nivel de la topología algebraica y la geometría diferencial, etc..) con muy empinada barrera de entrada.

Mientras yo obtener más conocimientos sobre el tema (que podría tomar muchos meses), espero hacer una más pequeña (un progreso inmediato) en esta dirección general, con la ayuda de estas dos preguntas:

La pregunta principal:

Hay una definición más simple/de la noción de "dentro" y "fuera" de $\mathbb{R}^n \setminus Y$, para topológico compacto conectado codimension-1 colector de $Y\subset \mathbb{R}^N$ (con la topología inducida por la métrica Euclidiana)?

Cuestión secundaria:

Deje $X\subset \mathbb{R}^N$ ser compacto, conectado suave colector de codimension-$1$ (una hipersuperficie). Por lo que tiene una fácil noción de "dentro" y "fuera" (véase en la elaboración de abajo). Mapa de $X$ por un (no uniformes) homeomorphism $h:\mathbb{R}^N \to \mathbb{R}^N$:

(a) ¿la imagen $Y= h(X)$ tiene una definición sencilla de la "dentro"?

(b) si la respuesta a (a) es negativa, ¿cuáles son algunas de las afecciones leves que deben ser impuestas a $h$ , de modo que su imagen tiene una definición simple de "dentro"?

Cualquier comentarios, referencias o de la intuición de por qué los que todavía son preguntas difíciles (o no) a$-$ especialmente cualquier cosa que ayude a una mejor comprensión de la gran imagen, $-$ son bienvenidos.

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Elaboraciones

Aquí está una cita de Jordan-Brouwer teorema de Separación de notas de la conferencia:

Teorema de 20.1 [Jordan - Brouwer teorema de Separación]: Vamos a $X$ ser compacto, conectado (suave) colector de codimension-$1$en $\mathbb{R}^N$(hipersuperficie). El complemento de $X$ en $\mathbb{R}^N$ está formado por dos bloques abiertos, el "afuera" $D_0$ y el "dentro de" $D_1$. Por otra parte, $\overline{D}_1$ es compacto colector con límite de $X =\partial \overline{D}_1$.

El "interior" es, a grandes rasgos, todos los puntos en $\mathbb{R}^N\setminus X$ (el complemento de $X$ en $\mathbb{R}^N$) por lo que si tenemos que enviar un rayo [en la posición general de] a partir de este punto[$^*$] y, a continuación, cuenta el número de las intersecciones de este rayo con $X$, tenemos un número impar de intersecciones, a continuación, el punto está en el "interior" (por el contrario, si tenemos el número de cortes el punto está en el "exterior").

Con lo anterior en mente, mi pregunta principal es: supongamos que tengo $Y$, compactos conectado topológica del colector. Así que voy a perder la noción de transversalidad etc. Hay todavía un (relativamente) simple noción de "dentro" y "fuera" de $\mathbb{R}^n \setminus Y$, si es así ¿esos son definidos? O es que esto ya es un "profundo pregunta" que requiere sumergirse en topología algebraica y etc...

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Posibles duplicados

He buscado exhaustivamente para encontrar una explicación en StackExchange o de otras fuentes: buscar "dentro de topológico colector", "teorema de separación para topológico colectores", "Simple Alexander dualidad para los no-esferas", etc... pero no he logrado juntar cualquier respuesta a mi pregunta. Me parece una gran cantidad de fuentes (aquí, aquí, aquí, aquí, aquí, aquí, el más cercano a mi pregunta es este uno) con suave colectores o no liso de los casos, sino que se refería sólo con hyperspheres, o de que se trate acerca de la topología de los elogios (por ejemplo, si se conecta, el contra-ejemplo de Alexander esfera cornuda de Alexander dualidad se expresa en términos de hyperspheres, y aquí me gustaría considerar no sólo hyperspheres pero compacto, conectado codimension-$1$ colector)), o se afirma de una manera que (con mis conocimientos actuales) es demasiado críptico para descifrar (como aquí). Espero que la forma en que estoy tratando de atacar a esta pregunta es más simple y que puede hacer algunos progresos.

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[$^*$] Un rayo va en una dirección general para el rayo corta el colector $X$ transversalmente, los rayos son densos así que siempre podemos encontrar uno.

Answer 1

Este es el tipo de situación en la que la Dualidad de Alexander dice mucho, sin embargo, se establece el teorema es verdad que ninguna pequeña empresa y no siempre es obvio cómo se debe utilizar.

La declaración de Alexander Dualidad del singular (co)homología de las preocupaciones de cualquier subespacio $X\subset S^n$ que es compacto y localmente contráctiles (lo cual es cierto en un topológicos compactos submanifold) y nos da un isomorfismo

$$\tilde{H}_q(X) \cong \tilde{H}^{n-q-1}(S^n\setminus X) $$

para cada $q\geq 0$. En particular, si $X$ es un sistema cerrado (como en el pacto y sin límite) y orientado $(n-1)$-dimensiones topológicas sub-colector, a continuación, $$\mathbb{Z} \cong \tilde{H}_{n-1}(X)\cong \tilde{H}^0(S^n \setminus X)$$

Pero el rango de la reducción de grado $0$ de homología grupo es uno menos que el número de componentes de la ruta, por lo $S^n \setminus X$ tiene exactamente dos componentes. Ambas están abiertas en $S^n$ desde $X$ es compacto y por lo tanto (topológicamente) cerrado en $S^n$.

De ello se sigue que si $X\subset \mathbb{R}^n$ es un cerrado, conectado, orientado codimension-$1$ topológico submanifold, a continuación, $\mathbb{R}^n\setminus X$ también tiene dos separe los componentes abiertos, decir $U_1$ e $U_2$ (considerando $S^n$ como el punto de compactification de $\mathbb{R}^n$). Desde $X$ es compacto uno de estos componentes es definitivamente sin límites, decir $U_1$, por lo que permanece para mostrar $U_2$ no lo es. Deje $r >0$ ser lo suficientemente grande como para que $X\subset B_r(0)$, la bola de radio $r$ centrada en el origen y considerar la posibilidad de $Y:=\mathbb{R}^n \setminus B_r(0)$. Desde $Y$ está conectado y $Y\cap U_1 \neq \emptyset$ se sigue que $U_2\cap Y = \emptyset$ (y, por tanto, $U_2$ es limitado), ya que $Y = (Y\cap U_1) \cup (U_2 \cap Y)$. Por lo tanto podríamos considerar la limitada componente como "dentro".

De hecho, si $X$ satisfaga todas las condiciones anteriores, pero no está conectada, y ha decir $k$ componentes, a continuación, $\tilde{H}_{n-1}(X)\cong \mathbb{Z}^k$ e lo $\mathbb{R}^n\setminus X$ tienen $k+1$ componentes, precisamente, uno de los cuales es ilimitado.

(Para una aplicación similar de Alexander dualidad, echa un vistazo a mi respuesta a esta pregunta )

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Yo creo que tu segunda pregunta debe seguir a partir de la primera, puesto que la imagen $h(Y)$ sería un topológicos compactos submanifold de $\mathbb{R}^n$.