Dejemos que $(X,\mathscr T)$ sea un espacio metrizable tal que toda métrica que genera $\mathscr T$ está acotado. Demostrar que $X$ es compacto.

Question

Dejemos que $(X,\mathscr T)$ sea un espacio metrizable tal que toda métrica que genera $\mathscr T$ está acotado. Demostrar que $X$ es compacto.

Mi intento:- Sabemos que $(X,\mathscr T)$ es metrizable. Por lo tanto, hay una métrica en $x$ tal que la colección de todos los conjuntos abiertos con respecto a la métrica es la $\mathscr T$ . Dejemos que $\{d_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$ sea la colección de la métrica que genera $\mathscr T$ . Sabemos que $\forall \alpha \in \Lambda, (X,d_\alpha)$ está acotado.

Supongamos por el contrario $X$ no es compacto. Así que $(X,d_\alpha)$ no es secuencialmente compacto. Por lo tanto, hay un $\{x_n\}$ sea una secuencia en $X$ tal que ninguna de sus sucesiones converge. ¿Cómo hago para contradecir nuestra suposición?

Answer 1

Para $X$ metrisable con esta propiedad, si $X$ no fuera compacto, no sería secuencialmente compacto, por lo que habría una secuencia $(x_n)$ sin una subsecuencia convergente. Así que $D=\{x_n: n \in \mathbb{N}\}$ es un subespacio cerrado y discreto de $X$ y así podemos extender $f(x_n)=n$ de $D$ a $\mathbb{R}$ a una función continua (Tietze) $F: X \to \mathbb{R}$ (que claramente también es ilimitado, ya que $f$ es).

Entonces es fácil comprobar que si $d$ es cualquier métrica compatible para $X$ (que existe) entonces $d_F(x,y)=d(x,y) + |F(x)-F(y)|$ es otra métrica compatible en $X$ que es ilimitado, en contra de la suposición sobre $X$ que todas las métricas compatibles están acotadas. Por lo tanto, la suposición de que $X$ no es compacto era falso...