Considere la posibilidad de un espacio métrico $(X, d)$ y un conjunto cerrado no vacío $A \subset X$. Es el mapa de $d_A : X \to \mathbb{R}, x \mapsto d(x, A)$ un cociente mapa cuando se limitan a su imagen? Nota $d(x, A) = \inf\{ d(x, a) : a \in A \}$.
Si esto no es cierto, puede un contraejemplo existen en $\mathbb{R}^2$? Algunos resultados parciales seguir.
Si $X$ es compacto, entonces $d_{A}$ es cerrado. Esta de la siguiente manera desde entonces, más en general, continua mapas de espacios compactos de Hausdorff espacios están cerrados.
Si $X$ tiene el Heine-Borel propiedad y $A$ es compacto, a continuación, $d_A$ es cerrado. Para $B \subset X$ cerrado y $y \in \overline{d_A(B)}$ existe $x_n \in B$ tal que $d_{A}(x_n) \to y$. Ejercicio 27.2 b de Munkres 2ed afirma que desde la $A$ es compacto, $d(x, A) = d(x, a)$ para algunos $a \in A$. Así existen $a_n \in A$ tal que $d(x_n, a_n) \to y$. Desde $A$ es compacto, existe una larga $a_{i_n}$ de $a_n$ tal que $a_{i_n} \to a$. Entonces $d(x_{i_n}, a) \le d(x_{i_n}, a_{i_n}) + d(a_{i_n}, a)$ para todos los $n$, y el lado derecho de esta desigualdad es el tiempo de menos de $y + 1$. Por lo $x_{i_n}$ es, finalmente, contenida en un cerrado acotado conjunto cerrado, y por la de Heine-Borel de la propiedad hay una larga $x_{j_n}$ de $x_{i_n}$ tales que $x_{j_n} \to x$. Desde $B$ es cerrado, $x \in B$. A continuación, la continuidad y la propiedad de Hausdorff implican $d_{A}(x) = y$, lo que implica la $y \in d_{A}(B)$. Así que la afirmación de la siguiente manera. En el caso general, es $d_A$ siempre cerrado mapa al $A$ es compacto?
$d_A$ no es generalmente cerrado, mapa, incluso cuando $A$ es cerrado. Considere el caso donde $X = \mathbb{R}^2$ e $A$ es el $x$-eje. A continuación, $d_A$ mapas de la gráfica de la exponencial función de a $(0, \infty)$.
