Deje que$X,Y,X_1,X_2,\ldots$ sea iid y$\phi(x,y)$ una función de prueba. ¿$\frac{1}{N^2}\sum_{i,j}\phi(X_i,X_j)\to\mathbb E\phi(X,Y)$ As?

Question

Supongamos que tenemos una distribución de $\mu$ a $\mathbb R^d$, y una función suave $\phi:\mathbb R^d\times\mathbb R^d\to\mathbb R$ con soporte compacto. Deje $X_i$ ser yo.yo.d. variables aleatorias con distribución $\mu$. A continuación, se da el caso de que $$ \frac{1}{N^2}\sum_{i,j=1}^N\phi(X_i,X_j)\a\int_{\mathbb R^d\times\mathbb R^d}\!\phi(x,y)\,\mathrm d\mu(x)\,\mathrm d\mu(y)? $$ Para una sola variable $\phi$, esto es sólo el fuerte de la ley de los grandes números, pero no acabo de ver cómo probar aquí.

Answer 1

Deje $f(X_1,\ldots,X_n) = \frac{\sum_{i,j}\phi(X_i,X_j)}{N^2}$. Desde $\phi$ es suave y definido en un tamaño compacto, está rodeado por algunos de los $k \in \mathbb{R}^{+}$. Por lo tanto, para cada $i$, $|f(X_1,\ldots,X_i,\ldots,X_n)-f(X_1,\ldots,X_i^*,\ldots,X_n)| \leq \frac{2k}{n}$. Se sigue de McDiarmid la desigualdad que

$$P(|f(X_1,\ldots,X_n)-E[f(X_1,\ldots,X_n)]| \geq \epsilon) \leq 2\exp(-0.5\epsilon^2k^{-1}n)$$

También se observa que $\theta_n := E[f(X_1,\ldots,X_n)] = \frac{nE[\phi(X_1,X_1)] + n(n-1)E[\phi(X_1,X_2)]}{n^2}$ e $\theta := E[\phi(X_1,X_2)] = \lim_n \theta_n$.

\begin{align*} \sum_{n}P(|f(X_1,\ldots,X_n)-\theta| \geq \epsilon) &\leq \sum_{n}P(|f(X_1,\ldots,X_n)-\theta_n| \geq \epsilon - |\theta_n-\theta|) \\ &\leq \sum_n 2\exp(-0.5(\epsilon - |\theta_n-\theta|)^2k^{-1}n) < \infty \end{align*}

Se sigue de Borel-Cantelli que $f(X_1,\ldots,X_n)$ converge a.s. a $\theta$.