(a) Suponer eso . Demostrar eso .

Question

Deje $V$ ser finito-dimensional normativa espacio vectorial. Deje $L:V\rightarrow V$ ser un operador lineal y deje $v\in V$. Se supone que hay una secuencia $\{n_i\}_{i=1}^\infty\subset\mathbb{Z}$ tal que $L^{n_i}v\rightarrow 0$. Mostrar que $L^nv\rightarrow 0$ como $n\rightarrow \infty$.

Yo: Si $v$ es un autovector de a$L$, luego tenemos $$ 0=\lim L^{n_i}v=\lim \lambda^{n_i}v $$ lo que implica que $|\lambda|<1$. Entonces tenemos $$ \lim L^nv=\lim \lambda^nv=0. $$ Cómo probar cuando $v$ no es autovector?

Answer 1

Las sugerencias. Mediante la incorporación de $V$ en un finito-dimensional espacio vectorial sobre $\mathbb C$ si es necesario, uno puede suponer que el campo subyacente es complejo. Puesto que todas las normas son equivalentes en un finito-dimensional espacio vectorial, se puede reducir el problema para el caso especial donde $V=\mathbb C^N$ para algunos $N$ y la matriz de $L$ es un bloque de Jordan de un autovalor $\lambda$. En este caso, si $v_k$ es la última distinto de cero de entrada de $v$, $k$-ésima de a$L^mv$ es $\lambda^mv_k$ para cada entero positivo $m$.