Problema del principio de encasillamiento

Question

Problema: En los siguientes 30 días recibirás 46 juegos de tareas de los cuales harás al menos uno cada día y -por supuesto- todos durante los 30 días. Demuestra que debe haber un periodo de días consecutivos durante el cual harás exactamente 10 juegos de deberes.

Solución: Sea $f_n$ denotan el número de tareas del día $1$ al día $n$ , donde $n\le 30$ . Por lo tanto, consideremos desde $f_1$ hasta $f_{11}$ . Hay diez posibilidades para el resto cuando cada uno se divide por $10$ . Por el principio de encasillamiento, deben existir dos que tengan el mismo resto, llámense $f_i$ y $f_j$ para algunos $i,j\in [1,11]$ . Por lo tanto, $$f_i - f_j \equiv 0 \pmod{10}.$$ Pero también $f_i - f_j \not = 20$ . Por lo tanto, $f_i - f_j = 10$ .

Creo que esto va por buen camino. Sin embargo, no me he convencido de que $f_i - f_j \not = 20$

Answer 1

De hecho, habría que considerar el caso de que $f_i-f_j=20$ . Lo que podría ser un lío...

También se puede hacer lo siguiente: sabemos que $$1\le f_1<f_2<\ldots<f_{30}=46\iff 11\le f_1+10<f_2+10<\ldots <f_{30}+10=56$$ Obsérvese ahora que estamos considerando $60$ enteros positivos $$f_1,f_2,\ldots ,f_{30},f_1+10,f_2+10,\ldots , f_{30}+10$$ donde todos ellos son menores que $57$ . Por el principio de Pigeonhole, al menos $2$ los números deben ser iguales.

Por lo tanto, debemos tener un número entero de la primera desigualdad que sea igual a otro número entero de la segunda desigualdad, ya que ambas desigualdades son estrictamente creciente. Por lo tanto, $$f_i=f_j+10$$ para algunos $i,j\in\Bbb N_{<31}$ . Que es exactamente lo que queríamos probar.