Inversa de$1-g-g^{-1}$ en el anillo de grupo$\mathbb{Z}[G]$ para$o(g)=5$.

Question

Estoy tratando de demostrar que si $G$ es un grupo y $g\in G$ es un elemento de orden $5$ entonces $x=1-g-g^{-1}$ es una unidad de elemento en el anillo de grupo $\mathbb{Z}[G]$. Estoy tratando de encontrar una explícita inversa mediante el cálculo de $xg^r$ para $r=1,2,3,4$ y tratando de agregar en una buena manera de conseguir $1$. Pero hasta ahora no puedo encontrar un buen "combinación". Consejos sobre cómo calcular una inversa de este elemento?.

[EDITAR]

He encontrado una solución para esto, pero es probablemente el camino más difícil. Estoy tratando de encontrar una función inversa de la forma $a+bg+cg^2+dg^3+eg^4$, así que me tome la ecuación de $x(a+bg+cg^2+dg^3+eg^4)=1$ y se convierte en un problema de álgebra lineal. He encontrado por la resolución de la $5\times 5$ entero sistema lineal que $a=1,b=-1,c=0,d=-1,e=0$ es una solución, es decir, $x(1-g-g^4)=1$. Creo que debe haber otras maneras de acercarse a este tipo de ejercicios.

Answer 1

Considere $x=g+g^{-1}$ y $y=g^2+g^{-2}$ : tenga en cuenta que $$ xy = g ^ 3 + g ^ {- 1} + g + g ^ {- 3} = g ^ {- 2} + g ^ {- 1} + g + g ^ 2 = x + y $$ Así $$ (1-x) (1-y) = 1-x-y + xy = 1 $$

Answer 2

Tenemos $x=1-g-g^4$. El algoritmo de Euclides extendido por $\gcd(1-g-g^4,g^5-1)$ da $$ 1 = (1 - g^2 - g^3)(1-g-g^4)+(-g - g^2)(g^5-1) $$ Por lo tanto, la inversa de a$x$ es $1 - g^2 - g^3$ porque $g^5-1=0$.