[Verdadero / Falso] El polinomio$x^4+7x^3−13x^2+11x$ tiene exactamente una raíz real.

Question

[True/False]El polinomio $x^4+7x^3−13x^2+11x$ tiene exactamente una real de la raíz.

Quiero resolver esto sin el dibujo de la gráfica. Aquí está mi idea. Tenga en cuenta que $f(1)=1+7-13+11=6>0$ e $f(-1)=1-7-13-11=-30<0$

Así que tenemos al menos una raíz real. Ahora desde el grado es $4$ tenemos $4$ raíces, pero tres no pueden ser complejas como ocurren en pares, por lo que debemos tener otra raíz real.

Así que la afirmación es Falsa

Estoy en lo cierto?

Gracias por la lectura y toda la ayuda.

Answer 1

Sí, su resultado es correcto (¿cómo mejorar el actual argumentación es suficientemente discutido en los comentarios de esta respuesta). Se puede hacer en otro señalando que $$f(x)=x^4+7x^3-12x^2+11x=x\cdot(x^3+7x^2-12x+11)=x\cdot g(x)$$ $f(x)$ tiene una raíz real en $x=0$. Ahora, $g(x)$ es de grado $3$ y cada polinomio de grado $3$ tiene al menos una raíz real por el Teorema del Valor Intermedio desde $\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=-\infty$ e $\lim\limits_{x\to\infty}g(x)=\infty$.

Por lo tanto, $f(x)$ tiene al menos dos raíces reales.