Maximizar el área de un cuadrilátero dado tres lados

Question

¿Cuál es el área máxima posible que puede tener un cuadrilátero, si las longitudes de tres de sus lados son 3, 4 y 5, mientras que el cuarto lado puede tener una longitud arbitraria? (Pensando en ello como tres segmentos de valla dispuestos alrededor de una pared recta de manera que el área se maximice)

Mi enfoque: Dado que para longitudes dadas un cuadrilátero cíclico tendrá el área máxima, empecé por ahí. Según el teorema de Herón, el área al cuadrado de un cuadrilátero cíclico es igual a $A^2 = (s-5)(s-4)(s-3)(s-2x)$ con $s = (5+4+3+2x)/2$ equivalente a la mitad de la circunferencia y $x$ la mitad del lado desconocido. Al reorganizar llegamos a $A^2=(3+x)(2+x)(1+x)(6-x)$. Estableciendo la derivada de x en cero se obtiene el área máxima $A = 20.495$ con $x = 4.0279$ (y el lado faltante $2x = 8.0558$). ¿Es esto correcto? ¿El cuadrilátero máximo es cíclico como asumí? Y de ser así, ¿no existe una solución geométrica más elegante e intuitiva?

Answer 1

Su suposición de ser maximal ocurre cuando es un cuadrilátero cíclico parece correcto. Considera $ABCD$ tu cuadrilátero maximal. Digamos que $AB=3$, $BC=4$, $CD=5$. Si $\angle ACD\neq 90$, entonces puedes rotar $CD$ alrededor de $C$ para que este ángulo $\angle ACD$ se convierta en $90$, y tu área aumentaría, contradiciendo la maximalidad de tu cuadrilátero. Así que, $\angle ACD=90$.

Un análisis similar muestra que $\angle ABD=90$. Por lo tanto, tu cuadrilátero maximal tiene que ser cíclico. Incluso más, tu otro lado $AD=2x$ tiene que ser el diámetro de la circuncírculo. Creo que esta debería ser suficiente información para encontrar el valor de $x$. Y probablemente obtendrás la misma fórmula cúbica para resolver.

Answer 2

Su enfoque es correcto y adecuado. Si cuatro segmentos $a_1, a_2, a_3, a_4$ satisfacen las desigualdades $$ a_i<\frac12\sum_i a_i,\tag1 $$ lo cual es necesario para la construcción de cualquier cuadrilátero, es posible construir un cuadrilátero cíclico con estos segmentos también. Hay hasta dos cuadriláteros cíclicos congruentes, ambos con el mismo área, la cual, por la fórmula de Bretschneider, es mayor que el área de cualquier otro cuadrilátero construible con los mismos lados.

Aunque la solución de tu problema tiene una interpretación geométrica simple (el cuarto lado es el diámetro del círculo circunscrito), la construcción del lado por medios geométricos (es decir, con compás y regla sin marcar) es imposible.

De hecho, la longitud en cuestión es la (única) solución positiva de la ecuación cúbica: $$ x^3-(a^2+b^2+c^2)x-2abc=0\tag2 $$ con los valores enteros $a, b, c$.

Según el conocido Lema, las raíces de la ecuación $(2)$ son construibles si y solo si al menos una de ellas es racional.

Supongamos que la ecuación $(2)$ tiene una raíz racional $x=\frac pq$, con $p, q\in\mathbb Z, (p, q)=1, q>0$. Al sustituir este valor en $(2)$, se obtiene: $$p^3=[(a^2+b^2+c^2)pq+2abc q^2]q\implies q\mid p\implies q=1.$$

Por otro lado, la misma ecuación puede ser reescrita como: $$ [p^2-(a^2+b^2+c^2)q^2]p=2abcq^3\implies p\mid 2abc. $$

La sustitución directa de todos los 32 (incluyendo negativos) divisores de $2abc=120$ en la ecuación $(2)$ verifica que ninguno de ellos satisface la ecuación. Esto prueba que el cuarto lado del cuadrilátero que maximiza su área no es construible.