$\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{pz}}{e^z-1}dz$ Valor principal de Cauchy

Question

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{pz}}{e^z-1}dz$$

Empecé por definir el siguiente contorno: contorno rectangular

Es fácil demostrar que las integrales a lo largo de los 2 lados verticales del rectángulo van a $0$ como $R\Rightarrow\infty$ aplicando la desigualdad del triángulo para las integrales.
Tenga en cuenta que debemos tener $0<p<1$ para que esto funcione.

Para la integral a lo largo del lado superior del rectángulo definimos $z=x+\pi i$ por lo que la integral se convierte en:
$$\int_{R}^{-R} \frac{e^{p(x+\pi i)}}{e^{x+\pi i}-1}dx$$
Utilizando algo de álgebra básica y tomando el límite como $R\Rightarrow\infty$ esto se simplifica a:
$${e^{p \pi i}}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{px}}{e^{x}+1}dx$$
Esta integral tiene una solución conocida y al introducir esta solución se obtiene: $${e^{p \pi i}} {\frac{\pi}{\sin{p \pi}}}$$
Ahora tenemos que abordar la integral sobre el semicírculo y para ello definimos: $z=\epsilon e^{i \theta}$ así que $dz=i \epsilon e^{i \theta} d\theta$ y $-\pi \leq \theta \leq 0$

La integral se convierte en:

$$\int_{- \pi}^{0} \frac{e^{p \epsilon e^{i \theta}}}{e^{\epsilon e^{i \theta}}-1} i \epsilon e^{i \theta}d\theta$$
Tomando el límite como $\epsilon \Rightarrow 0$ utilizando la regla de l'Hopital obtenemos:
$$\int_{- \pi}^{0} \frac{e^{p \epsilon e^{i \theta}}}{e^{\epsilon e^{i \theta}}-1} i \epsilon e^{i \theta}d\theta = i \pi$$
Juntando todo y utilizando el hecho de que la integral del contorno cerrado es cero ya que no hay singularidades dentro del contorno se obtiene. Dejo que WolframAlpha haga la simplificación:

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{pz}}{e^z-1}dz = -\pi \cot{(p \pi)} -2 \pi i$$
En mi opinión esto parece raro porque el integrando es real para todas las entradas de z excepto $0$ . Esperaba el valor principal de Cauchy, que en realidad es esta integral porque estalla en $0$ También se valora mucho. Desafortunadamente mis cálculos muestran que esta integral es de valor complejo.

Podría alguien decirme si he hecho algo mal o no. Encontré un artículo que también tiene esta integral cubierta, pero creo que hay un error en su cálculo de la integral a lo largo del semicírculo (se olvidaron de un signo menos), que si se corrige resulta en la misma respuesta que obtuve. enlace: artículo sobre la integralidad .

Cualquier ayuda es muy apreciada.

PD: Tengo 17 años, así que este es mi primer mensaje en este foro, si hay alguna regla (informal) que desconozco, por favor, hágamelo saber también.

Answer 1

Sus valores de $\theta$ debe ser $0 \le \theta \le \pi$ viajó hacia atrás. Intercambiando los límites y la integración, tenemos entonces $$\begin{align} \lim_{\epsilon \to 0}\int_{\pi}^{0} \frac{e^{p \epsilon e^{i \theta}}}{e^{\epsilon e^{i \theta}}-1} i \epsilon e^{i \theta}d\theta &= \int_{\pi}^{0} \lim_{\epsilon \to 0}\frac{e^{p \epsilon e^{i \theta}}}{e^{\epsilon e^{i \theta}}-1} i \epsilon e^{i \theta}d\theta \\&=i\int_{\pi}^{0}e^{i \theta}\lim_{\epsilon \to 0}\frac{e^{p \epsilon e^{i \theta}} \epsilon }{e^{\epsilon e^{i \theta}}-1}d\theta \\&=i\int_{\pi}^{0}e^{i \theta}e^{-i\theta}d\theta \\&=-i\pi \end{align} $$ Lo que da la respuesta que se espera, cancelando la parte imaginaria. Por lo tanto, sólo obtenemos la parte real.