¿Leyendo correctamente esta expresión$\lim \inf ()$ y$\lim \sup()$?

Question

Nunca he pensado que me iba a tener dificultades para leer un simple fórmula, que va de la siguiente manera¹:

Un conocido problema no resuelto en la teoría de los números refiere a la distriubtion de $(3/2)^n\pmod1$. La secuencia se cree estar distribuidos de manera uniforme, que es el caso para casi todos los números reales $\theta^n\pmod1$, pero no se conoce aún a ser denso en $[0,1]$. Uno de los pocos resultados positivos conoce (no entero) racional $\theta=p/q$ es que de Vijayaraghavan ($1940$), que mostró que el conjunto $(p/q)^n\pmod1$ tiene infinidad de límite de puntos. Vijayaraghavan señaló que más tarde fue sorprendente que ni siquiera podía decidir si de no $(3/2)^n\pmod1$ tiene infinitamente límite de puntos en $[0,1/2)$ o en $[1/2,1)$. Estas dos últimas afirmaciones pasaría si uno pudiera demostrar que $$\limsup_{n\to\infty}\left\{\left(\frac32\right)^n\right\}-\liminf_{n\to\infty}\left\{\left(\frac32\right)^n\right\}>\frac12.$$

Supongo seguramente correctamente, que las llaves significa que la parte fraccionaria. Y $\lim_{n \to \infty} \sup()$ mayor que ocurren valor fraccionario (o mejor su límite) y el otro, el más bajo que ocurren valor fraccionario (o mejor su límite) . Pero, por supuesto, ya de pequeño $n$ la izquierda de la expresión de los enfoques $1$ y la expresión de la derecha enfoques $0$, lo que hace que su diferencia de más de $1/2$.

Así que obviamente debe malinterpretar algo elemental. Tratando de quitar el tomate de mis ojos...

¹ Flatto, Lagarias, 1995 "Sobre el alcance de las fracciones { ξ(p/q) n }"

Answer 1

Dada una secuencia $a_n$, $\limsup_{n\to\infty}a_n$ es un eventual supremum, no un mundial supremum de $a_n$. Lo que quiero decir es que no importa lo que los primeros términos de hacer, sólo lo que sucede como $n\to \infty$.

Un poco más de rigor, a si sucesivamente eliminar entradas desde el comienzo de la secuencia de $a_n$ (es decir, empezar a $n = 2$ en lugar de $n = 1$, a continuación, iniciar en $n = 3$ en lugar de $n = 2$, y así sucesivamente), el (global) $\sup a_n$ podrían permanecer en el mismo, o se podría disminuir. Lo que converge a (ser un número real o $-\infty$), que es $\limsup_{n\to \infty}a_n$

Ejemplo: $$ a_n = \frac 1n + (-1)^n\\ \begin{array}{|c|cccccc} \hline n & 1&2&3&4&5&\cdots\\ \hline a_n&0&\frac32&-\frac23&\frac54&-\frac45&\cdots\\\hline \end{array} $$ El mayor término de esta secuencia es $\frac32$, $n = 2$. Por lo $\sup a_n = \frac32$. Sin embargo, si queremos eliminar los dos primeros términos, a continuación, el nuevo mayor plazo es $\frac 54$ para $n = 4$. Y así sucesivamente. El mayor plazo de lo que queda sigue reduciéndose como nos mantenemos a la eliminación de los términos, y converge a $1$.

$\liminf_{n\to\infty}a_n$ funciona de la misma manera, sólo que con $\inf$. Utilizando el ejemplo anterior de nuevo, vemos que no hay ningún menor plazo. Pero hay una (global) $\inf a_n = -1$. Este va a permanecer exactamente donde es, como hemos eliminar términos, como es el final de la secuencia que le da esta $\inf$. Por lo $\liminf_{n\to\infty}a_n = -1$.

Y cuidado con el etiquetado de $\inf$ e $\sup$ (y su $\lim$ variaciones) como "min" y "max". No es lo mismo (a pesar de que se llene mucho de la misma función). La secuencia de $a_n$ no tiene un minuto, ya que nunca se vuelve $-1$, pero viene cada vez más cerca de él, por lo que el $\inf$ es $-1$.

Volviendo a su secuencia original, el punto entero de que el párrafo es señalar que si bien es ampliamente sospecha de que $\{(3/2)^n\}$ enfoques de $1$ e $0$ como $n$ crece, simplemente no lo sabemos. Tal vez todos los términos son mayores que los de $\frac12$ desde algún punto. En ese caso, el $\liminf$ serían $\frac12$, o incluso más grandes.

Answer 2

"Pero, por supuesto, ya de pequeño n la izquierda de la expresión enfoques 1 y la expresión de la derecha acercamientos 0, lo que hace que su diferencia mayor que 1/2."

Pero nos importa aobut GRAN n!

EDITAR DESPUÉS DE COMENTARIO:

No siempre hay una relación entre el $\lim \sup$/$\lim \inf$ y global de valores máximos/mínimos. Puede que desee pensar en esto de la siguiente manera:

Por muy grande $n$ (es decir, que tan grande de $n$ como nos arbitrarely decidir, a elegir), nuestra secuencia/función será oscilating en algunos de la gama, con su límite inferior se $\lim \inf$ y su límite superior se $\lim \sup$ valores Más altos que el $\lim \sup$ puede ser alcanzada por menor $n$

Como ejemplo de eso, vamos a $f(x):=\frac{1}{x}$ por cada $x>=1$ Tenemos un máximo global de punto en $x=1$ con $\lim \sup$ e $\lim \inf$ (cuando $n \to \infty$) siendo a 0