¿Son las funciones sobreyectivas un concepto sin sentido?

Question

¿Qué sentido tiene el concepto de funciones sobreyectivas o onto si se puede limitar el codominio de la función a su imagen? La inyectividad o la unicidad es en realidad la propiedad que define a las biyecciones (a veces llamadas 1 a 1 correspondencias), mientras que lo único que hace la cuestión de la subjetividad es desviar el argumento para comprobar si la imagen es igual al codominio.

¿Me equivoco al pensar esto? ¿Qué me falta? La única situación en la que este concepto podría ser marginalmente útil que se me ocurre sería alguna función para la que es más fácil encontrar un elemento del codominio para el que no existe ninguna imagen previa que encontrar la propia imagen.

Answer 1

Si se le da un función $f$ es cierto que afirmar que es sobreyectiva equivale a afirmar que su imagen es igual a su codominio. Pero supongamos que tenemos varias funciones. Entonces afirmar que algunas de ellas son suryectivas mientras que otras no lo son resulta más natural, ya que es no natural restringir el codominio de algunas de ellas y no restringir el codominio de las otras.

Answer 2

Si se le da una función $f:A\to B$ En cuanto a la inyectividad, tienes razón en que es "intrínseca" a la función, en el sentido de que sólo depende de la gráfica de la función; mientras que cualquier función es sobreyectiva "sobre su imagen".

Otros ya han explicado por qué puede ser poco esclarecedor mirar la imagen de la función : a veces (a menudo) es muy difícil describir dicha imagen, y la cuestión de la subjetividad en $B$ sólo se convierte en una cuestión de igualdad: ¿es $\mathrm{im} (f) = B$ ? Como tal, no estás resolviendo la pregunta diciendo "oh, es surjetivo en $\mathrm{im}(f)$ ", y este es el punto que quiero hacer: cuando se pide la subjetividad de una función, a menudo no se está interesado en si es subjetiva en algún lugar más bien su verdadero interés radica en el conjunto $B$ .

En otras palabras, preguntar si $f$ es sobreyectiva no es preguntar algo sólo sobre $f$ (y su gráfico más concretamente), se está preguntando si la ecuación $f(x)=b$ siempre tiene una solución para $b\in B$ . Desde esta perspectiva, puedes ver por qué nos interesan las proyecciones: son los mapas que permiten resolver cualquier ecuación.

Permítanme darles un par de ejemplos en los que el concepto de subjetividad es interesante:

-Suponga que tiene un campo $k$ (puedes pensar $k=\mathbb{R,C,Q}$ si no sabes mucho de campos) y una función polinómica $P\in k[x]$ . Entonces $P:k\to k$ y se puede preguntar si $P$ es suryente. Por supuesto que es sobreyectiva sobre su imagen, pero eso no es realmente lo que quieres saber. Siendo aún más específicos, tomemos $P(x) = x^2$ y, a continuación, se pregunta si $P$ es sobreyectiva es preguntarse "¿cualquier elemento de $k$ tienen una raíz cuadrada en $k$ ?" Esta es claramente una pregunta interesante (que condujo al descubrimiento de $\mathbb{C}$ ), y obviamente es lo mismo que "es $\mathrm{im}(P) = k$ ?", pero de nuevo, formularlo así no ayuda realmente, y no quita el interés de la pregunta.

-Si conoces el teorema de Cantor, entonces sabes que para cualquier conjunto $X$ hay no la proyección $X\to \mathcal{P}(X)$ . Ahora bien, sin la noción de suryección este resultado ni siquiera es expresable, mientras que es una afirmación muy importante. Por supuesto, cualquier función $f:X\to \mathcal{P}(X)$ es sobreyectiva a su imagen : pero ¿a quién le importa? lo que realmente nos interesa es si cada elemento de $\mathcal{P}(X)$ se consigue.

En resumen, la surjetividad es una noción interesante cuando se está realmente interesado en el codominio, no sólo en la función : en efecto, sucede que a veces no te importa realmente $B$ , te preocupas principalmente por $f$ y $A$ y en estos casos sólo se dice "coresponde a la imagen de $f$ y somos buenos"; pero a veces también te interesa $B$ en cuyo caso la noción se vuelve relevante.

Permítanme terminar señalando que una vez que has planteado la cuestión de la subjetividad, y, digamos, has obtenido una respuesta negativa, la búsqueda no termina aquí, porque de nuevo, como has dicho, $f$ es siempre suryente hacia $\mathrm{im}(f)$ Así que si $f$ no es suryente hacia $B$ significa que la ecuación $f(x)=b$ no tiene una solución para todos $b$ y así se entra en una cuestión algo más matizada, que es "para qué $b$ ¿tiene solución?" (que es, por supuesto, la misma pregunta que "¿qué es $\mathrm{im}(f)$ "; pero tal vez expresarlo en términos de ecuaciones lo haga más claro)

Answer 3

Un concepto es útil si nos ayuda a decir lo que queremos decir más fácilmente que si no tuviéramos el concepto.

Tienes razón en que si nos dan alguna función de la nada como un conjunto de pares ordenados $(x,f(x))$ entonces no tiene mucho sentido preocuparse por si es sobreyectiva - eso es sólo una cuestión de qué codominio elegir para ella. Pero obtener una función sin ningún contexto no es esencialmente lo que realmente sucede cuando hacemos matemáticas.

Es mucho más común que no empecemos con una función en mente, pero con una lista de condiciones y luego preguntamos " es que hay cualquier función que satisfaga nuestras condiciones?", o "¿es cierta tal cosa sobre todo funciones que cumplan nuestras condiciones?" Las condiciones vienen antes de hemos fijado una función particular para aplicarlos. Por lo tanto, necesitamos un vocabulario para hablar de esos condiciones mucho más que (o al menos además de) hablar de funciones individuales y concretas.

Resulta que con relativa frecuencia tenemos que hablar de condiciones de la forma

El rango de la función es exactamente el conjunto $B$ .

para algunos ya conocido $B$ que proviene de lo que sea que estemos haciendo. Esto ocurre tan a menudo que es conveniente tener una forma más corta de decirlo.

En un lenguaje más antiguo esto podría expresarse diciendo que estamos pensando en una función "sobre $B$ " en lugar de una función "para $B$ "(que sólo requiere que el rango de la función sea un subconjunto de $B$ ). Esto ciertamente funciona -- es indudablemente corto -- pero los educadores matemáticos han encontrado generalmente más instructivo y explícito expresar la condición como "la función $A\to B$ es sobreyectiva". Algunas ventajas de esto son:

• "Onto" es casi también En pocas palabras, es relativamente fácil pasar por alto la diferencia entre "to" y "onto", especialmente para los estudiantes que no aprecian la importancia de la distinción.

• Porque "surjective" es un adjetivo podemos utilizarlo en contextos como "porque $f$ es sobreyectiva..." o "ahora demostramos que $g$ es sobreyectiva". En el lenguaje antiguo tenemos que decir "porque $f$ es sobre", lo cual es bastante sospechoso gramaticalmente -- "sobre" es una preposición, así que ni ella ni "sobre $B$ "debería ser un predicado.

• La notación " $A\to B$ " es una forma conveniente y memorable de especificar tanto el dominio como el codominio de la función en la que estás pensando. Pero entonces, si necesitas hablar del rango que es exactamente $B$ no hay espacio para hacerlo poniendo una palabra delante de $B$ porque ahí es donde el $\to$ va.

El inconveniente del uso es que la expresión " $f$ es sobreyectiva" no tiene realmente sentido formal a menos que imaginemos que $f$ es algo que intrínsecamente sabe cuál es su codominio. Este no es el caso de la formalización teórica de las funciones como conjuntos de pares. Algunos autores definen explícitamente una "función" para este propósito como algo así como un triple de dominio, codominio y pares, en cuyo caso "es suryectiva" no es problemática. Otros consideran que "es sobreyectiva" es una abreviatura de "tiene codominio $B$ " y dejar al lector que recuerde qué $B$ del texto anterior tiene sentido entenderlo como.

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Por cierto, en el uso matemático real el uso principal (aunque no la única) de "suryectiva" es como una mitad de la definición de "biyectiva". Las funciones inyectivas son ciertamente un concepto útil por derecho propio; también lo son las biyecciones. Tiene sentido didáctico enseñar "biyectiva" como una combinación de "inyectiva" (que ya necesitamos conocer) y una condición adicional que resulta ser "sobreyectiva".

Answer 4

¿Qué sentido tiene el concepto de funciones sobreyectivas o onto si se puede limitar el codominio de la función a su imagen?

He leído esta afirmación como un cuestionamiento de la utilidad de utilizar conjuntos más grandes sólo cuando conocemos la imagen de un mapa, aunque lógicamente no dice nada de cuando no conocemos la imagen; es decir, supongo que OP ve la importancia de los codominios (que pueden ser mayores que la imagen) en definir el concepto de función, si su imagen es fácil de determinar o no. Dicho esto, en los casos en que la imagen de la función es fácil de determinar, se ha determinado sólo porque todavía (implícita o explícitamente) ha asumido primero el tipo de salidas que quieres que tenga tu función. El conjunto de estos es lo que llamamos el codominio, independientemente de que podamos especificar explícitamente el rango de valores de la función. Es decir, supongamos que tenemos una expresión $f(x).$ Entonces, para determinar completamente su significado como función, hay que conocer la clase de objetos a los que $x$ pertenece, y también debe conocer la clase de objetos a la que $f(x)$ pertenece -- esto es importante, ya que el cambio de esta clase cambia (es decir, limita o amplía el rango de) la operación en sí, por lo que ni siquiera la gama aún no está fijada, hasta que no hayamos fijado esta clase de objetos que queremos $f(x)$ para estar dentro. Queda claro, pues, que se quiera o no, no se puede escapar del concepto de codominio si se quiere definir completamente el significado de función, y menos si se quiere hablar de rangos. Por tanto, es básico, necesario para el concepto de función. La imagen de un mapeo se encuentra en algún conjunto, lo admitamos explícitamente o no -- es el codominio. Pero algunas funciones toman todos los valores en su codominio (asignado) -- claramente éstas tienen una propiedad que no todas las funciones con el mismo codominio tienen (recuerda que una función no se especifica hasta que el codominio lo es -- creo que esto es algo que aún no has apreciado del todo). Nos gusta cuando encontramos un comportamiento tan singular. Por eso se les llama surjective, o términos similares.

La inyectividad o 1 a 1 es en realidad la propiedad que define a las biyecciones (a veces llamadas 1 a 1correspondencias), mientras que la cuestión de la subjetividad lo único que hace es desviar el argumento hacia la comprobación de si la imagen es igual al codominio.

Como se ha explicado anteriormente, no se puede pensar de forma coherente y definitiva en una función sin hacer suposiciones implícitas o de otro tipo sobre su dominio de acción y su codominio de productos. Así, parece que la inyectividad sólo está bien definida en relación con haber fijado primero un codominio. Por supuesto, la inyectabilidad es un comportamiento interesante en sí mismo, de ahí que lo destaquemos también. Pero esta no lo hace restan un poco de interés a la subjetividad. Son conceptos diferentes. Ahora, dices que la inyectabilidad es el propiedad definitoria de las biyecciones, y esto es cierto. Recordemos que una biyección es una función que debe tener un dominio en ambos sentidos; así, si no conocemos el rango de un mapa, aunque sea inyectivo, es bastante inútil para casi todo. Sin embargo, como el asunto de encontrar rangos no es del todo limpio, por eso se suele encontrar la afirmación de que si una función es inyectiva y es sobreyectiva, entonces es biyectiva. No conozco el libro que usas, pero a no ser que lo expongan como una definición (lo cual no debería ser un problema, ya que una definición no siempre pretende agotar una clase de objetos, sino que sólo define cualquier clase que le parezca interesante o conveniente tratar), entonces no tienes que leer esto como una afirmación if-and-only-if; es decir, en tal caso no están diciendo necesariamente que la subjetividad sea también necesaria para que un mapa sea biyectivo. Así pues, espero que ahora veas que la cuestión de la subjetividad de una función inyectiva no descarrila nada, al menos si realmente quieres usar las funciones para algo, y no simplemente pensar de forma general y abstracta sobre ellas.

¿Me equivoco al pensar esto? ¿Qué me falta? La única situación en la que este concepto podría ser marginalmente útil que se me ocurre sería alguna función para la que es más fácil encontrar un elemento del codominio para el que no existe ninguna imagen previa que encontrar la propia imagen.

En resumen, te equivocas en tu primera cita en el sentido de que no puedes pensar en rangos sin pensar primero en codominios; de hecho, no puedes concebir una función de forma única sin especificar también su codominio, entre otros requisitos. En tu segundo párrafo, citado anteriormente, la cuestión de la inyectividad en el sentido más general depende sólo de la inyectividad, pero en la práctica es más fácil distinguir las funciones sobreyectivas que también son inyectivas; esto garantiza automáticamente su biyección de forma explícita, lista para ser utilizada. Sin embargo, esto no significa que sólo las funciones sobreyectivas puedan ser posiblemente biyectivas, salvo que se tome la afirmación anterior como una definición, lo cual no es un problema de todos modos.

Answer 5

Una razón práctica para permitir codominios más grandes es que encontrar el rango explícitamente no es fácil.

Por ejemplo, ¿cómo describirías el rango de la función $\mathbb R \to \mathbb R$ dado por $f(x) = x^6 − 3x^2 − 6x$ ? Su derivado es un quintica irresoluble .