Mis profesores han repasado las reglas para tratar los exponentes fraccionarios. Sólo me preguntaba cómo alguien calcularía digamos: $$(-5)^{2/3}$$ He probado un par de formas de simplificar esto y no estoy seguro de si el número se mantiene negativo o se convierte en positivo. Sé que si un número negativo se eleva a una potencia impar es negativo, pero las potencias fraccionarias no son ni impar ni pares. ¿Hay alguna regla general para tratar este tipo de problemas?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Una base negativa es un punto de conflicto entre los tres significados comúnmente utilizados de la exponenciación.
- Para el operador de exponenciación real continua, no se permite tener una base negativa.
- Para el operador de exponenciación real discreta, permitimos exponentes fraccionarios con denominadores Impares, y $$(-a)^{b/c} = \sqrt[c]{(-a)^b}= \left( \sqrt[c]{-a} \right)^b = (-1)^b a^{b/c} $$ (y esto se permite porque cada número real tiene un único $c$ -th root)
- Para el operador de exponenciación compleja, la exponenciación es multivalente. Una exponenciación con denominador $n$ generalmente asume $n$ valores distintos, aunque generalmente se elige uno como valor "principal".
Para $(-5)^{2/3}$ estos tres operadores de exponenciación dan
- No se ha definido
- $\sqrt[3]{25}$
- $\omega \sqrt[3]{25}$ es el valor principal. Los otros dos son $\sqrt[3]{25}$ y $\omega^2 \sqrt[3]{25}$ , donde $\omega = -\frac{1}{2} + \mathbf{i} \frac{\sqrt{3}}{2}$ es una raíz cúbica de $1$ .
Desgraciadamente, el significado de la exponenciación rara vez se indica explícitamente y hay que adivinarlo por el contexto.
Supongo que se refiere al segundo.
Por si tienes curiosidad, aquí tienes parte de la justificación de la primera y la tercera convención.
En la primera convención, la "continuidad" es importante. Si dos exponentes están "cerca" el uno del otro, entonces deberían producir valores "cercanos" cuando se utilizan para exponer. Sin embargo, a pesar de que $2/3$ , $3/5$ y $\pi/5$ son todos de tamaño similar, $(-5)^{2/3}$ y $(-5)^{3/5}$ están ampliamente separados por el hecho de que uno "debería" ser positivo y el otro negativo. Y ni siquiera está claro que $(-5)^{\pi/5}$ ¡debe tener sentido!
Para la tercera convención, todo el asunto es como la idea de $\pm 2$ siendo la "raíz cuadrada de 4", sino por el hecho de que los complejos no pueden separarse limpiamente en "negativos" y "positivos" para permitirnos elegir uno específico de forma agradable.
Un método es elegido para el valor principal, basado en tratar de conseguir bases positivas 'correctas' y tratando de mantener la continuidad tanto como sea posible, pero por desgracia esta convención consigue las bases negativas 'mal'.
En cierto sentido, esto puede considerarse como el principal valor de $(-5)^{2/3}$ elegido para estar "dos tercios del camino" de lo positivo a lo negativo.
Benjamin Bannier
Puntos
11953
Esta pregunta es de hace varios años. Sin embargo, me molesta que ninguna de las respuestas proporcionadas sea de nivel introductorio. Permítanme entonces contribuir con una respuesta, que no es rigurosa, pero que servirá como heurística general para los estudiantes que recién se han enfrentado a los exponentes fraccionarios con números reales.
Podemos interpretar una base elevada a una simplificada $^\dagger$ exponente fraccionario con esta heurística: $$x^{\frac ab} = x^{\frac{\text{'power'}}{\text{'root'}}}$$ Eso es decir que $a$ actúa como una potencia entera estándar y $b$ actúa como una raíz entera estándar. $^{\dagger\dagger}$
Su ejemplo, $(-5)^{2/3}$ puede interpretarse como un cuadrado $-5$ y luego tomar la tercera raíz. O, en el orden inverso, tomando la raíz cúbica de $-5$ y luego elevar al cuadrado ese resultado.
\begin {align} (-5)^{2/3} &= ((-5)^2)^{1/3} = \sqrt [3]{25} \approx 2.92 \\\\ \text {o}& \\\\ (-5)^{2/3} &= ( \sqrt [3]{-5})^{2} \approx (-1.71)^2 \approx 2.92 \end {align}
Observa que en este ejemplo concreto nuestra base era negativa. Como el denominador de la fracción era impar, pudimos resolver un número real. Sin embargo, si el denominador fuera par, no tendríamos ninguna solución real, ya que la raíz par de un número negativo no está definida para los números reales. En su lugar, tendríamos que recurrir a los números complejos para una interpretación más adecuada (véase la respuesta aceptada de Hurkyl).
$^\dagger$ El exponente fraccionario debe simplificarse para que el próximo proceso tenga sentido. Para ver por qué, considere el ejemplo $(-8)^\frac 24$ . ¿Qué pasa si no se simplifica? ¿Y si lo haces?
$^{\dagger\dagger}$ Suponemos que $a$ y $b$ son números enteros tales que $a/b$ es un número racional. Eso es lo que probablemente ha visto un estudiante cuando se enfrenta por primera vez a los exponentes fraccionarios. Si $a,b$ no son enteros, entonces el significado es menos obvio.
Shabaz
Puntos
403
Las raíces impares de los números negativos están bien definidas. $(-5)^{\frac 13}=-(\sqrt[3]5)$ está bien definido como se puede comprobar: es el único número real que satisface $x^3=-5$ . A continuación, puede cuadrarlo para obtener $(-5)^{\frac 23}$ y si te cuadras primero y pides $\sqrt[3]{25}$ se obtiene el mismo resultado. Si el denominador no es impar tienes un problema.
Phy_Amatuer
Puntos
46
La respuesta a tu pregunta depende de la definición que se asuma de exponenciación, pero creo que la forma más razonable y coherente de verlo es a la luz de los números complejos. Pensando en coordenadas polares, tenemos que preguntarnos qué ocurre con la magnitud y qué ocurre con el ángulo. Para responder a esto, dividimos el problema de la siguiente manera:
$$(-5)^{2/3}=(-1)^{2/3}*5^{2/3}$$
El término $(-1)^{2/3}$ especifica el ángulo y es igual a $e^{(2/3)i\pi}$ , mientras que $5^{2/3}$ especifica la magnitud de valor real. Así, el resultado según la interpretación que hago de la operación es $$(-5)^{2/3} = 5^{2/3}*e^{(2/3)i\pi} = 5^{2/3}*(-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i)$$ que es aproximadamente igual a $-1.462+2.532*i$ .
Las transformaciones que interpretan el exponente de valor racional como una composición de la exponenciación y la extracción de la raíz son problemáticas debido al fallo de algunas identidades de logaritmos y potencias en los números complejos.
En ese sentido, cabe mencionar que incluso la transformación que utilicé en la primera ecuación no está generalmente permitida, sólo funciona con la división de una base real negativa en una real positiva y una real negativa, en la forma en que la utilicé aquí.
EDIT: Reflexionando sobre las otras respuestas, creo que el motivo de la confusión es la identidad asumida $\sqrt[a]{x}=x^{1/a}$ lo cual no es del todo correcto. Tomar la raíz a-ésima de un número es la relación inversa a tomar un número a la potencia de a, se supone que devuelve todos los números que, cuando se toman a la potencia de a, se convierten en $x$ . Subir a $x$ a la potencia del inverso multiplicativo de a, por otro lado, sigue siendo sólo una exponenciación con cualquier exponente de valor real, donde se eleva la magnitud a la potencia especificada y se multiplica el ángulo complejo con el exponente, dando un único resultado.
Esto se reduce sobre todo a la interpretación, propongo que sólo es conveniente hacer la distinción para eliminar la ambigüedad.
crf
Puntos
2625
- Ver respuestas anteriores
- Ver más respuestas
