Tres números primos relativamente

Question

Es cierto que si $\gcd(a,b,c)=1$ entonces existe $x,y\in\mathbb{Z}$ tal que $\gcd(a+xc,b+yc)=1$?

Me encontré con esta tratando de probar que el natural homomorphism $r_m:\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})\to\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})$ es surjective. Yo estaba tratando de mostrar que, para $n=2$si $A\in\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})$ , a continuación, basta para mostrar que no existe $B\in M_2(\mathbb{Z})$ tal que $r_m(B)=A$ e $\gcd(b_{11},b_{12})=1$.

Answer 1

Si el máximo común divisor de a$a$ e $c$ es $d$, por lo que $a=pd$ e $c=qd$ con $p$ e $q$ co-prime, a continuación, $a+xc=d(p+xq)$.

Sabemos que $d$ es co-prime a $b$, y del teorema de Dirichlet sobre primos en progresión aritmética nos dice que $p+qx$ es un primer infinitamente a menudo. Pero $b$ sólo tiene un número finito de factores primos.

Lo que en realidad podemos hacer esto con $y=0$.

Si del teorema de Dirichlet para esto es necesario, no sé la parte superior de mi cabeza. Se siente como debería ser algo más sencillo. Pero esto, al menos, responde a la pregunta.

Answer 2

Asumimos $c\neq 0$, de lo contrario no hay nada que hacer.

Deje $d=\gcd(a,b)$ y escribir $a=md,b=nd$. Existe enteros $u,v$ tal que $\gcd(u,v)=1$ y $$ umd + vnd = d $$ Por lo tanto $$ \begin{align*} (umd + uvc) + (vnd - uvc) &= d\\ u(a+vc) + v(b-uc) &= d \end{align*} $$ Primero asuma $u,v$ son no-cero.

Pretendemos que $D=\gcd(a+vc,b-uc)=1$.

Supongamos lo contrario, deje $p$ ser un primer dividiendo $D$. A continuación, $p$ divide $d$, por lo tanto $p$ divide $a$ e $b$.

Desde $p$ también se divide $a+vc,b-uc$, esto muestra que $p$ divide $vc,uc$. Por supuesto, $\gcd(a,b,c)=1$, por lo tanto $p$ no puede también dividir a $c$. Esto significa que $p$ divide $u,v$, contradiciendo $\gcd(u,v)=1$.

Por lo tanto, $D$ debe ser igual a 1.

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Si $u=0$, a continuación, $v=n=1$ e $a=md, b =d$. Podemos establecer $u,v$ a $u=-1, v=1+m$ , de modo que $u,v$ son cero y $$ ua +vb = -md + (1+m)d = d $$ Asimismo, para $v=0$.