$ \alpha = 1+\sqrt{2}$ tiene algunas propiedades interesantes. Uno de los cuales es que si nos fijamos en los poderes \begin{align*} \alpha^2 &= 3+2\sqrt{2} \approx 5.8284 \\ \alpha^3 & \approx 14.0710 \\ \alpha^4 & \approx 33.9705 \\ & \vdots \\ \alpha^{10} & \approx 6725.9998 \\ \alpha^{11} & \approx 16238.0000 \\ \vdots & \end{align*} (valores truncado, no redondeada), a continuación, la secuencia de $\{ \alpha^n \}$ es "casi" un ilimitado número entero de la secuencia. ¿Qué está pasando aquí? Es esta propiedad secundaria a $\alpha$ ser una unidad en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$? Puede $\alpha$ ser interpretado como un tipo de aproximado autovalor? ¿Este comportamiento tiene que ver con la continuación de la fracción de la representación? Otros números como $1+\sqrt{3}$ tiene una propiedad similar, pero ellos no parecen "ser entero" tan rápidamente.
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El hecho clave aquí resulta ser que el conjugado (en este caso en $\Bbb Q[\sqrt{2}]$) $1 + \sqrt{2}$, es decir, $1 - \sqrt{2}$, tiene valor absoluto menos de $1$.
Si ampliamos $$(1 + \sqrt{2})^n + (1 - \sqrt{2})^n$$ y aplicar el Teorema del Binomio para ambos de los dos poderes, nos encontramos todos los de la no integral términos cancelar, lo $(1 + \sqrt{2})^n + (1 - \sqrt{2})^n$ es un número entero para todos los $n$. Pero desde $|1 - \sqrt{2}| < 1$, para las grandes $n$ el plazo $(1 - \sqrt{2})^n$ tiende a $0$ y así $$(1 + \sqrt{2})^n + (1 - \sqrt{2})^n \approx (1 + \sqrt{2})^n ,$$ and in particular $(1 + \sqrt{2})^n$ es cerca de un entero.
Podemos identificar la secuencia de enteros que se produce, y también: $(1 \pm \sqrt{2})$ son las raíces del polinomio $r^2 - 2 r - 1$, lo $(1 + \sqrt{2})^n + (1 - \sqrt{2})^n$ satisface la relación de recurrencia $$a_{n + 2} = 2 a_{n + 1} + a_n .$$ Evaluating at, say, $n = 0, 1$ gives $a_0 = a_1 = 2$, y estos valores y de la relación de recursividad son suficientes para identificar la secuencia, $$2, 2, 6, 14, 34, \ldots .$$ Esta secuencia es OEIS A002203, donde sus miembros son llamados el compañero números de Pell. (Sus entradas son exactamente el doble de las de OEIS A001333, $1, 1, 3, 7, 17, \ldots$, los numeradores de la continuación de la fracción convergents de $\sqrt{2}$.) Dado que los valores iniciales son enteros, como son los coeficientes de la relación de recursividad, esto le da una forma alternativa de ver que $(1 + \sqrt{2})^n + (1 - \sqrt{2})^n$ es un número entero para todos los $n$.
Finalmente, trabajando hacia atrás, en efecto, podemos interpretar $1 + \sqrt{2}$ (y su conjugado) como valores propios de una matriz adecuada: El compañero de la matriz asociada al polinomio $r^2 - 2 r - 1$ por encima de es $\pmatrix{0&1\\1&2}$, y sus autovalores son $1 \pm \sqrt{2}$. A continuación, un sencillo de inducción muestra que $$\pmatrix{0&1\\1&2}^n \pmatrix{2&2\\2&6} = \pmatrix{a_n&a_{n + 1}\\a_{n + 1}&a_{n+ 2}} .$$
Todos estos fenómenos, por la manera en que están en estrecha analogía con el más conocido es el caso de la Proporción áurea, $\phi := \frac{1}{2}(1 + \sqrt{5})$. (Usted podría trabajar a estos detalles para asegurarse de que entiende los argumentos anteriores.) De hecho, $1 + \sqrt{2}$ tiene una interpretación geométrica análoga a la de la Proporción áurea, y, por analogía, a veces es llamada la Plata de la Relación; a su vez, estos son los dos primeros (no trivial) los miembros de la familia infinita $\frac{n + \sqrt{n^2 + 4}}{2}$, $n = 0, 1, 2, \ldots$, de metálico medios, todos los cuales (excepto para el caso trivial $n = 0$) tienen la llave de la propiedad vuelva a la conjugado.
Como usted ha observado, $1 + \sqrt{3}$ también tiene la llave de la propiedad, ya que $|1 - \sqrt{3}| < 1$. Pero $|1 - \sqrt{3}| > |1 - \sqrt{2}|$, lo $|1 - \sqrt{3}|^n \to 0$ más despacio de lo $|1 - \sqrt{2}|^n \to 0$.
Las raíces del polinomio $x^2-2x-1$ se $1+\sqrt2$ e $1-\sqrt2$, y la otra raíz $1-\sqrt2$ es absolutamente menos de $1$.
Esto hace que $1+\sqrt2$ un número de Pisot, a partir de la cual la propiedad de la que hemos dado cuenta de la siguiente manera.
Más concretamente: La secuencia $$ a_n = (1+\sqrt2)^n + (1-\sqrt2)^n $$ satisface la recurrencia lineal homogénea relación $$ a_n - 2a_{n-1} - a_{n-2} = 0 \qquad\text{that is, } a_n = 2a_{n-1} + a_{n-2} $$ porque cada uno de los dos $n$th poderes hacerlo por separado (tenga en cuenta que los coeficientes vienen desde el polinomio de arriba). También encontramos, por contacto directo de la computación, $$ a_0 = 2 \qquad a_1 = 2 $$ así que todos los de la $a_n$s son enteros. Pero $(1-\sqrt2)^n$ se convierte en más y más pequeño, por lo $(1+\sqrt2)^n$ termina siendo más y más cerca del entero $a_n$.
Usted podría observar el patrón si desea calcular las potencias: $$\begin{align}\alpha^1&=(1+\sqrt{2})^1=1+1\sqrt{2}\\ a^2&=(1+\sqrt{2})^2=3+2\sqrt{2}\\ a^3&=(1+\sqrt{2})^3=7+5\sqrt{2}\\ a^4&=(1+\sqrt{2})^4=17+12\sqrt{2}\\ \vdots \end{align}$$ Así que, básicamente, la segunda términos son importantes. Los coeficientes $1,2,5,12,...$ formulario de la recurrencia de la relación OEIS A000129: $$a_1=1,a_2=2,a_n=2a_{n-1}+a_{n-2},$$ Su solución es: $$a_n=\frac1{2\sqrt{2}}\left[(1+\sqrt{2})^n-(1-\sqrt{2})^n\right]$$ Por lo tanto: $$a_n\sqrt{2}=\frac{(1+\sqrt{2})^n-(1-\sqrt{2})^n}{2}=\frac{(1+\sqrt{2})^n+(1-\sqrt{2})^n-2(1-\sqrt{2})^n}{2}=\\ \frac{(1+\sqrt{2})^n+(1-\sqrt{2})^n}{2}-(1-\sqrt{2})^n$$ El primer término es un número entero, ya que su numerador es un número par y el segundo término enfoques $0$ grandes $n$, debido a $|1-\sqrt{2}|<1$, que se manifestó también en otras respuestas y comentarios.
Por lo tanto, se puede generalizar para $\alpha=1+\sqrt{k}$: $$a_n\sqrt{k}=\frac{(1+\sqrt{k})^n+(1-\sqrt{k})^n}{2}-(1-\sqrt{k})^n$$ Así que, depende de lo rápido que el segundo término $(1-\sqrt{k})^n$ enfoques $0$.
