El anillo sin identidad (que tiene una subring con identidad) tiene cero divisores.

Question

Deje $L$ ser no trivial de la sub-anillo con identidad de un anillo de $R$. Probar que si $R$ no tiene identidad, a continuación, $R$ tiene divisores de cero.

Así que supuse que no $\exists$ $e \in L$, tal que $ex=xe=x$, $\forall$ $x\in L$ y no $\exists$ $x' \in R/L$ tal que $ex'\neq x'$$x'e\neq x'$. Yo entonces mostrar (los obtenemos a partir de las dos últimas desigualdades), que nos ha $y=ey=ye,$ donde $y=ex', y\neq x'$, lo cual es una contradicción, porque $y\notin L.$ Es allí una manera de mostrar a partir de este que $R$ tiene divisores de cero? Porque en uno de los pasos que he a $e(x'-y)=0$, pero me parece que no puede averiguar si esto puede provocar directamente el resultado deseado.

Answer 1

Su prueba esencialmente funciona con$x'-y$ como divisor cero, siempre que justifique por qué puede elegir$x'$ de tal manera que$ex'\neq x'$. Si$R$ no es conmutativo, no puede garantizar esto; $e$ no es una identidad, pero puede ser una identidad de izquierda . Supongamos que este es el caso. Entonces$e$ no es una identidad correcta, así que en lugar de eso podemos elegir$x'$ para que$x'e\neq x'$ y argumentar de manera análoga, con$x'e-x'$ siendo el divisor cero.

Answer 2

En realidad, puede probar algo aún mejor: un idempotente distinto de cero en un rng sin divisores cero distintos es en realidad una identidad para el rng. . Esto se aplica a su caso ya que la identidad de la subrng sería un idempotente distinto de cero.

La solución vinculada prueba lo contrario de su afirmación de manera muy simple y en líneas análogas a la suya.