Algunos consejos para el caso especial de tensor métrico en GR

Question

Tengamos la métrica $$ ds ^ 2 = dt ^ 2 - dx ^ 2 - dy ^ 2 - dz ^ 2 - 2f (t - z, x, y) (dt - dz) ^ 2. $$ Necesito demostrar que es una solución exacta para las ecuaciones de Einstein en vacío para$\partial_{x}^{2}f + \partial_{y}^{2}f = 0$.

El método directo es obvio, pero ¿existe algún método especialmente para esta métrica?

Editar. Como veo, primero está reemplazando las variables como $$ u = (t - z), \ quad v = (t + z). $$

Answer 1

La métrica es bien conocido, y puede ser demostrado para describir una onda gravitacional. Yo le ayudará a probar el reclamo usando un poco diferente métrica que es más conveniente para el tetrad formalismo. La métrica:

$$ds^2=dt^2-dr^2+H(t-r,x^1,x^2)(dt-dr) - d(x^i)^2$$

donde $i=1,2$ $x^1,x^2$ son genéricos coordenadas. Podemos definir una base ortonormales,

$$\omega^t=dt+\frac{1}{2}H(...)(dt-dr) \quad \omega^r = dr +\frac{1}{2}H(...)(dt-dr)$$

y $\omega^i=dx^i$ tal que $\underline{g}=\eta^{ab}\omega_a \omega_b$. Tomando exterior derivados de la base de los rendimientos,

$$d\omega^t=\frac{1}{2}H_{,i} dx^i \wedge (dt-dr)=-\frac{1}{2}H_{,i}(\omega^t -\omega^r)\wedge \omega^i$$

y lo mismo para el otro; de curso $d\omega^i = 0$. Por Cartan de la primera ecuación,

$$d\omega^a=-\theta^a_b \wedge \omega^b$$

para la tirada de conexión de $\theta^a_b$. La aplicación de la ecuación, podemos deducir la no-cero de los componentes,

$$\theta^t_i=\frac{1}{2}H_{,i}(\omega^t-\omega^r)$$

y de forma idéntica para el $\omega^r$ de los casos; el resto se desvanecen. Cartan de la segunda ecuación dicta,

$$R^a_b = d\theta^a_b +\omega^a_c \wedge \omega^c_b$$

Usted debe ser capaz de asumir el cálculo de aquí. Como sólo estamos interesados en la intrínseca plana caso, el escalar de Ricci debe desaparecer en cualquier base, por lo tanto no hay necesidad de volver a convertir a las coordenadas de la base. Finalmente, usted podrá encontrar la condición,

$$\Delta H = 0$$

donde $\Delta$ es el operador de Laplace, el resultado deseado. Para asegurarse de que es una onda gravitacional, exigimos $T_{\mu\nu}=0$, de lo contrario no puede, al menos por la inspección, de inmediato la conclusión de la onda gravitacional, en lugar de, por ejemplo, la electromagnética. Por las ecuaciones de campo de Einstein, que implica la $R=0$.