¿Cuál es la definición exacta de Esfera de Influencia Gravitatoria (SOI)?

Question

Estoy tratando de entender la esfera de influencia gravitacional ( SOI ), pero todo lo que obtengo buscando es la fórmula que se puede encontrar en Wikipedia, es decir

$$ r_{SOI} = a \left( \frac{m}{M} \right)^{2/5} $$

donde

m: masa del cuerpo en órbita (más pequeño)

M: masa del cuerpo central (mayor)

a: semieje mayor del cuerpo menor

Al introducir los números de la Luna en esta fórmula, obtenemos un SOI de 66.183 km para la Luna sobre la Tierra. Esto es coherente con otras fuentes en la web, por ejemplo las transcripciones de la misión Apolo cuando hablan de entrar en el SOI de la Luna.

Lo que no entiendo es que cuando calculo las fuerzas gravitatorias entre diferentes cuerpos usando las leyes de Newton, un objeto colocado a esta distancia entre la Tierra y la Luna sigue recibiendo una mayor atracción de la Tierra. Digamos por ejemplo que tenemos un objeto con una masa de 100 kg, estos son los tirones gravitatorios (en Newtons) que recibiría de la Tierra y la Luna a diferentes distancias :

Fuerza de la Tierra sobre la superficie terrestre : 979,866 N

Fuerza desde la Tierra a 384400 km (distancia a la Luna) : 0.27 N

Fuerza de la Luna a 66183 km de la Luna : 0,112 N

Fuerza de la Tierra a 318216 km (66183 km de la Luna) : 0.394 N

Fuerza de la Luna a 38400 km de la Luna : 0,333 N

Fuerza de la Tierra a 346000 km (38400 km de la Luna) : 0.333 N

Como puedes ver, la atracción de la Tierra y la Luna se anulan mutuamente a unos 38.000 km, no a 66.000 km. Esto me resulta un tanto contradictorio, ya que al principio pensé que una nave espacial (por ejemplo) recibiría más atracción de la Luna que de la Tierra cuando entrara en la esfera de influencia gravitatoria de la Luna. Sospecho que tiene que ver con el hecho de que la Luna está en órbita alrededor de la Tierra, es decir, está en constante aceleración en la misma dirección que la atracción terrestre, pero me gustaría una explicación clara si alguien la tuviera.

Answer 1

Yo también me pregunté esto durante un tiempo y encontré un derivación no del todo completa de la fórmula (a partir de la página 14) .
En el que se utiliza la siguiente ecuación, $$ \ddot{\vec{r}}+\underbrace{\frac{\mu_i}{\|\vec{r}\|^3}\vec{r}}_{-A_i}=\underbrace{-\mu_j\left(\frac{\vec{d}}{\|\vec{d}\|^3}+\frac{\vec{\rho}}{\|\vec{\rho}\|^3}\right)}_{P_j}, $$ donde $\vec{r}$ es el vector entre los centros de gravedad de una nave espacial, indicado con $m$ y el cuerpo celeste con parámetro gravitatorio $\mu_i$ , $\vec{d}$ es el vector entre los centros de gravedad de una nave espacial y el cuerpo celeste con parámetro gravitatorio $\mu_j$ y $\vec{\rho}$ es el vector entre los centros de gravedad del cuerpo celeste $\mu_i$ y $\mu_j$ . Estos vectores también se ilustran en la siguiente figura.

                   

Y mirando la nave espacial desde un marco de referencia acelerado de un cuerpo celeste, entonces $A$ se define como la aceleración gravitatoria primaria y $P$ como la aceleración de la perturbación debida al otro cuerpo celeste.

Y el SOI se define debido a Laplace como la superficie a lo largo de la cual se satisface la siguiente ecuación, $$ \frac{P_j}{A_i}=\frac{P_i}{A_j}, $$ así que $$ \frac{\mu_j\left(\frac{\vec{d}}{\|\vec{d}\|^3}+\frac{\vec{\rho}}{\|\vec{\rho}\|^3}\right)}{\mu_i\frac{\vec{r}}{\|\vec{r}\|^3}}=\frac{\mu_i\left(\frac{\vec{r}}{\|\vec{r}\|^3}+\frac{\vec{\rho}}{\|\vec{\rho}\|^3}\right)}{\mu_j\frac{\vec{d}}{\|\vec{d}\|^3}}. $$ Esto no devolverá una superficie esférica, pero puede ser aproximada por una cuando $\mu_i << \mu_j$ cuyo radio es igual a $$ \|\vec{r}\|\approx r_{SOI}=\|\vec{\rho}\|\left(\frac{\mu_i}{\mu_j}\right)^{\frac{2}{5}}. $$ Aquí es donde se detienen las diapositivas de la conferencia y trataré de completar el resto. Cuando $\mu_i << \mu_j$ que el SOI estará relativamente cerca de $\mu_i$ así que $$ \|\vec{\rho}\|\approx\|\vec{d}\|, $$ y si se observa la figura anterior se puede ver que cuando $\|\vec{r}\|$ es menor que $\vec{d}$ y $\vec{\rho}$ casi apuntan en dirección opuesta y forman un triángulo con $\vec{r}$ tal que $$ \vec{\rho}+\vec{d}=\vec{r}. $$ Reescribiendo la definición de la superficie utilizando la aproximación se obtiene $$ \mu_j^2\frac{\vec{d}}{\|\vec{\rho}\|^6}=\mu_i^2\frac{1}{\|\vec{r}\|^3}\left(\frac{\vec{r}}{\|\vec{r}\|^3}+\frac{\vec{\rho}}{\|\vec{\rho}\|^3}\right) $$ La otra aproximación que hay que hacer es que $\|\vec{r}\|<<\|\vec{\rho}\|$ para que $$ \frac{\vec{r}}{\|\vec{r}\|^3}+\frac{\vec{\rho}}{\|\vec{\rho}\|^3}\approx\frac{\vec{r}}{\|\vec{r}\|^3}. $$ Ahora la ecuación puede reducirse a $$ \mu_j^2\frac{\vec{d}}{\|\vec{\rho}\|^6}=\mu_i^2\frac{\vec{r}}{\|\vec{r}\|^6}. $$ Al generalizar $\vec{r}$ como un radio constante se puede hacer este problema unidimensional, así $\|\vec{r}\|$ puede sustituir $\vec{r}$ y como no hay más adiciones de vectores (como para que las pequeñas diferencias entre ellos puedan importar) por lo tanto $\|\vec{\rho}\|$ también puede sustituir $\vec{d}$ , lo que da la ecuación final $$ \mu_j^2\|\vec{r}\|^5=\mu_i^2\|\vec{\rho}\|^5\longrightarrow\|\vec{r}\|=\|\vec{\rho}\|\left(\frac{\mu_i}{\mu_j}\right)^{\frac{2}{5}}. $$