Cálculo de la inversa de una matriz

Question

Sea $A(n) = (a_{i,j})_{1\le i,j \le n}$ definirse a través de: $a_{i,j} = 1, \text{ if } i \equiv 0 \mod (j)$ , $0$ de lo contrario. ¿Cuál es la inversa de $A$ ? ¿Existe una fórmula "fácil" para la inversa? Parece que la inversa de la matriz sólo tiene entradas $0,1,-1$ .

Answer 1

1. Sus matrices $A(n)$ son partes de la matriz infinita $A = (A_{i,j})_{i,j\geq 1}$ con entradas dadas por

$$A_{i,j} = \mathbf{1}_{\{ j \mid i \}} = \begin{cases} 1, & \text{if } j \mid i \\ 0, &\text{otherwise.} \end{cases}$$

A continuación, para cada $n$ nos gustaría encontrar el $n\times n$ matriz $B(n)$ para lo cual $A(n)B(n) = I_d$ es cierto. Nótese que esta relación es suficiente para garantizar que $B(n) = A(n)^{-1}$ .

Esto se consigue construyendo una matriz triangular inferior infinita $B = (B_{i,j})_{i,j\geq 1}$ para la que la relación $AB = I$ retenciones. Una vez demostrado esto, el extremo superior izquierdo $n\times n$ -menor de $B$

$$B(n) = (B_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$$

servirá como matriz inversa de $A(n)$ .

2. Dicho esto, queremos resolver el sistema de ecuaciones

$$\forall i,j \ : \quad \sum_{d = 1}^{\infty} A_{i,d}B_{d,j} = \delta_{i,j}.$$

Enchufar $A_{i,d} = \mathbf{1}_{\{ d \mid i \}}$ se reduce a

$$\sum_{d \mid i} B_{d,j} = \delta_{i,j}. \tag{2}$$

Tal $B$ se determina fácilmente aplicando la Fórmula de inversión de Möbius a la secuencia $(B_{i,j})_{i\geq 1}$ para cada $j$ :

$$B_{i,j} = \sum_{d\mid i} \mu\left(\frac{i}{d}\right)\delta_{d,j} = \mu\left(\frac{i}{j}\right) \mathbf{1}_{\{j \mid i\}} = \begin{cases} \mu(i/j), & \text{if } j \mid i \\ 0, &\text{otherwise.} \end{cases}$$

La matriz infinita correspondiente $B$ es triangular inferior y resuelve $AB = I$ como desee. ////

Answer 2

Su matriz es http://oeis.org/A051731 :

Triángulo leído por filas: T(n,k) = 1 si k divide a n, T(n,k) = 0 en caso contrario.

y (según la entrada OEIS) la matriz inversa es http://oeis.org/A054525 :

Triángulo T(n,k): T(n,k) = mu(n/k) si k divide a n, T(n,k)=0 en caso contrario (n >= 1, 1<=k<=n).

donde mu es el Función de Möbius (que sólo toma el valores $-1, 0, 1$ confirmando su conjetura).

Answer 3

Veamos $A_3$ :

$$A_3 = \begin{pmatrix}1&0&0 \\ 1&1&0 \\ 1&0&1 \end{pmatrix}$$

Con diversos métodos puede obtener $A_3^{-1}$ :

$$A_3^{-1} = \begin{pmatrix} 1&0&0 \\ -1&1&0 \\ -1&0&1 \end{pmatrix}$$

Ahora parece haber una tendencia aquí, con la $1$ 's bajo la diagonal que se convierte en $-1$ 's.

Veamos $A_4$ :

$$A_4 = \begin{pmatrix}1&0&0&0 \\ 1&1&0&0 \\ 1&0&1&0 \\1&1&0&1 \end{pmatrix}$$

Ahora $A_4^{-1}$ :

$$A_4^{-1} = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\-1&1&0&0\\-1&0&1&0\\0&-1&0&1\end{pmatrix}$$

Ahora, por desgracia, lo que observamos en $A_3$ no es válido para $A_4$ así que tenemos que plantear las ecuaciones :

Observemos $A_n = (a_{i,j})$ y $A_n^{-1}=(b_{i,j})$ .

Tenemos las siguientes ecuaciones :

$$\forall i,j\in [1,n] : \sum_{k=1}^n a_{ik}\cdot b_{kj}=\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix}0 &\text{if }i\ne j\\1&\text{if }i=j\end{matrix}\right.$$

(No tengo tiempo de terminar ahora, volveré más tarde, siéntete libre de intentar usar esas ecuaciones, el siguiente paso es usar el $a_{ij}$ definición)

EDIT : Acabo de ver la respuesta de Martin, de ninguna manera habría resuelto esto. No voy a borrar esta respuesta, ya que creo que pone de relieve el enfoque general de este tipo de problemas.