¿La longitud de un segmento entre 0 y 1 es exactamente 1?

Question

¿Cuál es la longitud del segmento de línea entre los puntos A y B en una recta numérica, donde A = 0 y B = 1? ¿Es exactamente 1? Quizás lo estoy pensando de manera incorrecta, pero me parece que 1 es la distancia de A a B, sin tener en cuenta que el ancho infinitamente pequeño del punto A y B, o es que los anchos de A y B son tan infinitamente pequeño que son esencialmente 0?

Answer 1

No solo esencialmente$0$: son $0$, ya que el tamaño lineal de un conjunto de números reales normalmente se mide. El intervalo cerrado$[1,1]$ es precisamente el conjunto$\{1\}$ cuyo único miembro es el número$1$, por lo que el 'ancho' del punto$1$, si quiere llamarlo así , es la longitud del intervalo cerrado$[1,1]$. Pero para$a\le b$ la longitud del intervalo$[a,b]$ es$b-a$, así que la longitud del intervalo$[1,1]$ es$1-1=0$.

Answer 2

La noción de longitud es inherentemente $1$-dimensional. Como tal, la longitud de cualquier punto es precisamente igual a $0$. Del mismo modo, cuando se considera la zona, que es de por sí una de 2 dimensiones de la criatura, el área de cualquier segmento de línea es, precisamente,$0$. Así, el área de un cuadrado de $[0,1]^2$ es, precisamente,$1$, independientemente si la medida de los lados o no. Del mismo modo, cada vez en mayor dimensión.

Curiosamente (como no sé si esto es del todo útil, y este es sin duda no se cómo se hace en la teoría de la medida) para las formas simples que usted puede medir la longitud total (o área o de volumen) como una combinación lineal de las medidas de distintas dimensiones, y esto le da plausible de los resultados en los cálculos (por lo menos algunas veces). Por ejemplo, vamos a presentar la noción de que el contenido de un solo punto (a $0$-dimensional de la noción de volumen). El contenido de cualquier punto único es $1P$ ('P' nos recuerda que este es el contenido de un punto).

Ahora, si estamos de acuerdo en que la longitud de $(0,1)$ $1L$ ('L' nos recuerda que somos ahora la medición de una línea), entonces estamos de acuerdo en que la medición total de $[0,1]$ es 1L+2P. Ahora bien, si estamos de acuerdo en que la zona de la plaza de la $(0,1)^2$ $1R$ ('R' nos recuerda de rectángulos), entonces podemos estar de acuerdo que el total de la medida de $[0,1]^2$ $1S+4L+4P$ (ya hemos añadido cuatro segmentos como $(0,1)$ y de cuatro puntos para la plaza de $(0,1)^2$ con el fin de obtener $[0,1]^2$. También podemos calcular el total de la medida de $[0,1]^2$ como el cuadrado de la medición total de $[0,1]$$(1L+2P)^2$. Argumentando formalmente, el último es igual a $1L^2+4PL+4P^2$ y ya (argumentando formalmente) $L^2=R$ $P^2=P$ $PL=L$ obtenemos el mismo resultado.

De nuevo, por favor, tenga en cuenta que por lo que yo sé de esto (no medida teórica) punto de vista es sólo una curiosidad.

Answer 3

Supongo que el hecho de que$\ell([a,b]) = b-a,\,a<b$ es lo suficientemente intuitivo para ti. Ahora, supongamos que$\ell((a,b))$ existe. Intuitivamente, si nuestro conjunto es más grande, su longitud sería mayor, por lo tanto,$\ell((a,b)) \leq \ell([a,b]) = b-a$. Por otro lado,$[a+\frac{1}{n},b-\frac{1}{n}] \subset (a,b)$ para todos los suficientemente grandes$n$, y por lo tanto,$\ell((a,b)) \geq \ell([a+\frac{1}{n},b-\frac{1}{n}]) = b-a-\frac{2}{n}$. Como$n$ puede ser elegido arbitrariamente grande, obtenemos$\ell((a,b)) \geq b-a$. Combinando las dos desigualdades, obtenemos$\ell((a,b)) = b-a$. Para formalizar estos argumentos, necesitamos la "teoría de la medida de Lebesgue".

Answer 4

La forma habitual de medir las cosas, $[0,1]$ $(0,1)$ tienen la misma longitud.

Por lo tanto, vamos a ver una nueva forma de medir las cosas!

Queremos que el intervalo de $[a,b)$ a tiene longitud de $b-a$, e $(a,b)$ a tener un menor número de punto y $[a,b]$ tener un punto extra. Elegí este acuerdo, de modo que la toma de las uniones de intervalos adyacentes es sano: queremos que la longitud de $[a,b)$ más la longitud de $[b,c)$ a ser la longitud de la $[a,c)$.

(ejercicio: resolver las cosas, si usted prefiere la longitud de $[a,b]$ más la longitud de $[b,c]$ a ser la longitud de la $[a,c]$... o mostrar que las cosas no se comportan razonablemente si quieres)

Así, podríamos definir nuevos números de la longitud de $[0,1]$$(0,1)$, $1^+$ $1^-$ respectivamente. La longitud de $[0,2)$ también podría calcularse como la longitud de $[0,1] \cup (1,2)$, es decir,$1^+ + 1^- = 2$.

Lo que si queremos iniciar la medición de intervalos disjuntos? ¿Cómo debe ser la longitud de $(0,1) \cup [2,3]$? O $(5,6) \cup (3,4)$? Tenga en cuenta que estos tienen que añadir a la longitud de $(0,1) \cup [2,4) \cup (5,6)$!

Nos podría dejar algunas sumas indefinido. O podríamos introducir un infinitesimal $\epsilon$. Nos permite añadir o restar (y esto significa que podemos multiplicar por números enteros), pero no lo multiplicamos por los números reales o por sí mismo. Ahora podemos registrar la longitud de $(0,1) \cup [2,3]$$(1 - \epsilon) + (1 + \epsilon) = 2$$(5,6) \cup (3,4)$$(1 - \epsilon) + (1 - \epsilon) = 2 - 2\epsilon$. Y estas agregar correctamente hasta la longitud de $(0,1) \cup [2,4) \cup (5,6)$ $(1 - \epsilon) + 2 + (1 - \epsilon) = 4 - 2 \epsilon$

Nota la longitud de un punto de $[x,x]$$0 + \epsilon$.

Con cuidado, podemos probar que todo funciona, así que podemos hablar acerca de las longitudes de los sindicatos de intervalos mediante el uso de números de la forma $a + b \epsilon$ donde $a$ es un valor no negativo real número y $b$ es un número entero (bonus ejercicio: elaborar una teoría de los intervalos que pueden tener un impacto negativo longitudes). Sin embargo, yo en realidad no tienen idea de cómo utilizar estos números, otros que simplemente decir que podemos hablar de las longitudes de los intervalos de una manera que hace que cada punto tiene un valor distinto de cero de longitud infinitesimal.