Aquí está una manera más directa y enfoque canónico que el primero que he publicado:
En primer lugar, un hecho importante: si $R=k[X,Y]$, e $\mathfrak{m} \subset R$ es un ideal maximal, entonces el campo $R/\mathfrak{m}$ es una extensión finita de $k$. Esto se conoce como Zariski del Lema, y es que el "duro" parte de la Nullstellensatz, a pesar de que hay al menos una muy breve prueba para general $k$, y una línea de prueba de al $k=\mathbb{R}$.
Ahora bien, podemos hacer más rápido el trabajo de este problema. Desde $R/\mathfrak{m}$ es una extensión finita de $k$, podemos identificar a $R/\mathfrak{m}$ con un subcampo de la $K$, algebraica de cierre de $k$. (Al$k=\mathbb{R}$,$K=\mathbb{C}$, que se conoce como el teorema fundamental del álgebra).
Identificar los cosets $X + \mathfrak{m},Y+\mathfrak{m}$$a,b\in K$, vamos a $p(X)$ ser el polinomio mínimo de a$a$$k$, y deje $q(X,Y)$ ser el polinomio mínimo de a$b$$k[a]$, considerado como un polinomio en $Y$ con coeficientes en $k[1,X,\ldots , X^{(\deg p) - 1}]$. Claramente, $p(a)=q(a,b)=0$, lo $p,q\in\ker(R\to R/\mathfrak{m})=\mathfrak{m}$
Yo reclamo que $\mathfrak{m} = (p,q)$. De hecho, si $f\in R$, entonces no hay una única $g\in f+(p,q)$ $\deg_X g<\deg p$ $Y$ grado $\deg_Y g<\deg q$ (use la división de polinomios algoritmo de dos veces).
Si $f\in\mathfrak{m}$,$g\in\mathfrak{m}$, lo $g(a,b)=0$. Por la definición de la mínima polinomio, $g(a,Y)=0$. Por la misma definición se aplica a los coeficientes de $g\in (k[X])[Y]$,$g(X,Y)=0$. En otras palabras, $f\in (p,q)$.
Al $k=\mathbb{R}$, que puede ser muy concretas:
- Si $a,b\in\mathbb{R}$, luego $p=X-a$, $q=Y-b$.
- Si $a\in\mathbb{R}$ pero $b\notin\mathbb{R}$, luego $p=X-a$, $q=(Y-b)(Y-\overline{b})$
- Si $a\notin\mathbb{R}$, $1$ $a$ son linealmente independientes sobre $\mathbb{R}$, por lo que podemos elegir el $c,d\in\mathbb{R}$$ca+d=b$. Entonces $p=(X-a)(X-\overline{a})$, $q=Y-(cX+d)$.
Mi original enfoque sugerido:
- Clasificar los máximos ideales de la $\mathbb{C}[X,Y]$ utilizando el Nullstellensatz.
- Mostrar que cada ideal maximal de a $\mathbb{R}[X,Y]$ es la restricción de un ideal maximal de a $\mathbb{C}[X,Y]$.
- Describir los diferentes máximos ideales de $\mathbb{C}[X,Y]$ restringen el mismo ideal maximal de a $\mathbb{R}[X,Y]$. (Sugerencia: el número de máxima ideales por encima de una determinada uno es $1$ o $2$.)
Esta prueba es de alguna manera más "geométrica" de la de arriba, más natural, pero que requieren de más difícil herramientas. Aquí es cómo va:
La inclusión $\mathbb{R}[X,Y]\hookrightarrow \mathbb{C}[X,Y]$ induce una de morfismos $f:\mathbb{A}^2_\mathbb{C}\to \mathbb{A}^2_\mathbb{R}$, que es surjective porque es el cambio de base de a $\mathbb{A}^2_\mathbb{Z}$ de la surjective de morfismos $\operatorname{Spec}\mathbb{C}\to\operatorname{Spec}\mathbb{R}$.
Si $\mathfrak{m}\in\mathbb{A}^2_\mathbb{R}$ es un punto cerrado con residuo de campo $\kappa$, entonces la fibra $f^{-1}(\mathfrak{m})$ puede ser identificado con el producto de fibra de $\mathbb{A}^2_\mathbb{C} \times_{\mathbb{A}^2_\mathbb{R}} \operatorname{Spec} \kappa \cong \operatorname{Spec} (\mathbb{C}[X,Y]\otimes_{\mathbb{R}[X,Y]} \kappa) \cong \operatorname{Spec}(\kappa)$ o $\operatorname{Spec}(\kappa\times \kappa)$, dependiendo de si $\kappa=\mathbb{R}$ o $\kappa=\mathbb{C}$.
Así que cada fibra tiene uno o dos puntos, correspondiente a un punto real $(a,b)$ , o un par de conjugar los puntos de $\{(c,d),(\overline{c},\overline{d})\}$.
