Cada polinomio irreducible de grado $m$ sobre $\mathbb F_p$ divide a $x^{p^m}-x$.

Question

Consideramos $F=\mathbb F_p$ para $p$ primo, $f(x)$ un polinomio irreducible de grado $m$ sobre $F$ y $g(x)=x^{p^m}-x$. Quiero demostrar que $f(x)\mid g(x).

A partir del hecho de que el campo $A=F[x]/(f)$ tiene $p^m$ elementos, ¿cómo se sigue que $f(x)|g(x)?$

Answer 1

Pista $\ $ Generalizando el Pequeño Teorema de Fermat, en un campo finito $\Bbb F_q\,$ de tamaño $\,q,\,$ los elementos no nulos forman un grupo de orden $\,q\!-\!1\,$ entonces, por el Teorema de Lagrange $\,a^{q-1} = 1\,$ para todo $\,0\ne a\in\Bbb F_q$

En particular, si $\,q=p^m\,$ entonces $\,x^{q-1}\! = 1\,$ en $\,\Bbb F_q\cong \Bbb F_p[x]/(f)\ $ es decir $\ x^{q-1}\!-1\in (f) = f\,\Bbb F_q[x],\,$ o, dicho de manera equivalente, $\,f\mid x^{q-1}\!-1\,$ en $\,\Bbb F_q[x].$

Answer 2

El grupo multiplicativo $A^*$ de $A$ tiene orden $p^m-1$. Dado que $f$ es irreducible y asumiendo que $m>1$, tenemos que $x\not\in (f)$, por lo que $x+(f)$ es un elemento no nulo de $A^*$ y por Lagrange tenemos que $x^{p^m-1}+(f)=(x+(f))^{p^m-1}=1_F+(f)$. Luego $g(x)+(f)=x(x^{p^m-1}-1_F)+(f)=(f)$, que es el elemento cero en $A$, lo que significa que $f(x)|g(x)$.