Variacional Derivación de la Ecuación de Schrödinger

Question

En la lectura de Weinstock del Cálculo de Variaciones, en las páginas 261 - 262 él se explica cómo Schrödinger al parecer, la primera derivada de la ecuación de Schrödinger de principios variacionales.

Lamentablemente no creo que la página 262 está mostrando así que voy a explicar el quid de la cuestión:

"En su documento inicial" considera a la reducción de Hamilton-Jacobi ecuación

$$\frac{1}{2m}\left[\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^2 \ + \ \left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)^2 \ + \ \left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)^2\right] \ + \ V(x,y,z) \ - \ E \ = \ 0$$

para una partícula de masa $m$ arbitrario de la fuerza de campo descrito por un potencial de $V = V(x,y,z)$.

Con un cambio de variables $S \ = \ K\log(\Psi)$, (donde $K$ será $\hbar=h/2\pi$) se reduce a

$$\frac{K^2}{2m}\left[\left(\frac{\partial \Psi}{\partial x}\right)^2 \ + \ \left(\frac{\partial \Psi}{\partial y}\right)^2 \ + \ \left(\frac{\partial \Psi}{\partial z}\right)^2\right] \ + \ (V \ - \ E)\Psi^2 \ = 0.$$

Ahora, en lugar de resolver esta él, al azar, desde mi punto de vista, decidió integrar en el espacio

$$I = \iiint_\mathcal{V}\left(\frac{K^2}{2m}\left[\left(\frac{\partial \Psi}{\partial x}\right)^2 \ + \ \left(\frac{\partial \Psi}{\partial y}\right)^2 \ + \ \left(\frac{\partial \Psi}{\partial z}\right)^2\right] + (V - E)\Psi^2\right)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z$$

luego Weinstock extremizes esta integral que nos da la ecuación de Schrödinger.

Al parecer, el libro de reclamaciones en la página 264 sólo después de esta derivación que trató de conectar su idea de deBroglie de la dualidad onda-partícula.

Por lo tanto, tengo tres preguntas,

1) ¿Cuál es la justificación para su famosa frase:

¿De dónde obtenemos que [Schrödinger, ecuación]? No es posible obtenerlo a partir de algo que usted sabe. Salió de la mente de Schrödinger. Feynman Lectures on Physics

en vista de lo anterior, la derivación. Tomo nota de que todas las derivaciones que he visto, la ecuación de Schrödinger hacer algo como la utilización de operadores como $i\hbar\partial/\partial t = E$ a derivar siempre mencionar es meramente heurístico, sin embargo, lo que Schrödinger al parecer originalmente hizo parece una rotonda la forma de solucionar el Hamilton-Jacobi ecuación sin heurístico-ness en la vista. Lo sutilezas que me estoy perdiendo aquí? Por qué iba a ser un tonto para arrogancia "correcto" alguien que dice Schrödinger no es derivable de algo que usted sabe?

Nota: he leído un montón de hilos sobre este tema en este foro y ninguno siquiera ir cerca del cálculo de variaciones, de hecho el anterior contradice esta explicación aquí que incluso se refiere a Schrödinger, premio Nobel de conferencias, así que esperemos que no sea un duplicado.

2) Es la matemática truco de Schrödinger ha utilizado algo que usted puede utilizar para resolver problemas?

3) ¿por Qué no se puede usar esta misma derivación en el caso relativista?

Edit: Sobre el tema de los números complejos:

En la página 276, 14 páginas después de que él explica lo que he publicado, y después de que él va a través de cómo Schrödinger enlaza su trabajo con DeBroglie del trabajo, es sólo entonces que Weinstock dice:

En un estudio más completo de la mecánica cuántica que el presente de la la admisibilidad de las complejas funciones propias $\Psi$ es generalmente demostrado ser es necesario. Si $\Psi$ es complejo, la cantidad de $|\Psi|^2$ es empleado, el la posición de probabilidad, función de densidad de cuanto $\Psi^2$ no está restringido a la real no negativo de valores.

Al parecer Schrödinger era capaz de hacer lo que me han publicado en el uso real de las funciones con valores y tienen K como me la han definido, sin yo. Si estás siguiendo lo que Weinstock está diciendo que él se muestra cómo el átomo de hidrógeno de los niveles de energía son explicables sin números complejos, es decir, él es capaz de derivar una interpretación física de los autovalores (discretos niveles de energía) de la ecuación de Schrödinger que estaban en acuerdo con el experimento (vea la Sección 11.3 de la Página 279). Como tengo entendido que es en el intento de encontrar una interpretación física de las funciones propias que uno se ve forzado a los números complejos, a pesar de que al parecer, según el libro, puede ser demostrado ser necesario. Eso es algo a tener en cuenta!

Answer 1

Estoy respondiendo a sólo una parte de su pregunta, por favor, tenga en cuenta que algunos de los temas que usted ha señalado, son dudas que me tienen a mí mismo.

Sobre el comentario de Feynman, que generalmente no me gusta la autoridad de los argumentos. Si su única razón para creer en algo es que alguien lo dijo, no es una buena razón. Así como algunos ejemplos, Newton creía que la luz no tenía onda-como comportamiento, que es simplemente incorrecto.

Acerca de la formulación variacional de la Ecuación de Schrödinger. Si por variacional que quieres decir, tener un Lagrange, el siguiente Lagrangiano hace el trabajo:

$ \mathcal L = \frac{i\manejadores}{2}\left(\psi^*\partial_t \psi \psi \partial_t \psi^*\right) - \frac{\manejadores^2}{2m}\left(\nabla \psi\right)\cdot \left(\nabla \psi^*\right) - V\psi^*\psi $

With the assumption that you have a complex classical scalar field, $\psi$, and that you can calculate the Euler-Lagrange equation separately for $\psi$ and $\psi^*$. As with anything using the extremum action principle, you really have to guess which your Lagrangian is based in Symmetry principles + some guideline for your problem, here is no different.

I don' t know how did Schrödinger made the original derivation, but if you make a slight change of variables in the above lagrangian, you get very close to what you have written above.

The trick is writing $\psi = \sqrt n e^{es/\manejadores}$, where $n$ is the probability density and $S$ es, essentially la fase de la función de onda. Si usted tiene problemas con la derivación, me pueden ayudar a segunda.

De nuevo acerca de su cita. Es posible llegar a la ecuación de Schrödinger, sin pasar a través de un arbitrario procedimiento heurístico, de esa manera, es desarrollado por Ballentine del libro. Usted todavía tiene que postular donde usted vive, si considera que usted o no arbitraria, es totalmente de usted.

El otro punto que es posible de forma coherente y rigurosamente construir una teoría cuántica de cualquier mecánicos clásicos de la teoría, el uso de cuantización por deformación. Por eso creo que es un poco falso que "no Es posible obtenerlo a partir de algo que usted sabe. Salió de la mente de Schrödinger", como Feynman, y muchos otros grandes nombres, dijo.