Problema para conseguir las verdaderas raíces de esta compleja expresión.

Question

Estoy tratando de llegar a las verdaderas raíces de esta expresión:

$$\dfrac{1}{z-i}+\dfrac{2+i}{1+i} = \sqrt{2}$$

Donde$i^2=-1$$z=x+iy$.

He tratado de simplificar que con el Álgebra y, a continuación, separar las partes real e imaginaria en ambos lados de la expresión para obtener un sistema de ecuaciones, por lo que me gustaría resolver para obtener las raíces de ambos $x$$y$. Pero todo lo que veo es un desastre!

Se agradece cualquier ayuda, gracias! :)

P. S. Se trata de nuevo de un ruso libro, se dice que la respuesta es: no hay soluciones reales. Y con el procedimiento que he dicho, tengo soluciones reales!

P. P. S. me gustaría escribir lo que hice, pero no tengo el escrito de los pasos más, lo siento :(

Answer 1

Si$w = 1/(z-i)$, esto dice$w = \sqrt{2} - \dfrac{2+i}{1+i} = \sqrt{2} - \dfrac{3}{2} + \dfrac{i}{2}$. Entonces,$z = i + 1/w = -\dfrac{1}{3} - \dfrac{2 i}{3} \sqrt{2}$ no es real.

En general: haz tu álgebra con números complejos. No te preocupes por las partes reales e imaginarias hasta el final.

Answer 2

Esto se puede hacer "obteniendo lo desconocido solo" simplificando la fracción y deshaciendo cada operación en el lado izquierdo.

Obtenemos $$ \begin{gathered} \frac{1}{{z - i}} + \frac{{2 + i}}{{1 + i}} = \sqrt 2 \\ \frac{1}{{z - i}} + \frac{3}{2} - \frac{1}{2}i = \sqrt 2 \\ \frac{1}{{z - i}} = \sqrt 2 - \frac{3}{2} + \frac{1}{2}i \\ z - i = - \frac{1}{3} + \left( { - \frac{2}{3}\sqrt 2 - 1} \right)i \\ z = - \frac{1}{3} - \frac{2}{3}\sqrt 2 i \\ \end {reunidos} $$

Como ve, no hay una solución real: solo una compleja. Dejé fuera la división peluda y los pasos recíprocos: avíseme si los necesita.

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Aquí hay más detalles sobre la primera división: $$ \begin{gathered} \frac{{2 + i}}{{1 + i}} \\ = \frac{{(2 + i)(1 - i)}}{{(1 + i)(1 - i)}} \\ = \frac{{2 - 2i + i - {i^2}}}{{1 - {i^2}}} \\ = \frac{{2 - 2i + i + 1}}{{1 + 1}} \\ = \frac{{3 - i}}{2} \\ = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}i \\ \end {recolectado} $$

Y aquí está el recíproco: $$ \begin{gathered} \frac{1}{{\sqrt 2 - \frac{3}{2} + \frac{1}{2}i}} \\ = \frac{{\sqrt 2 - \frac{3}{2} - \frac{1}{2}i}}{{\left( {\sqrt 2 - \frac{3}{2} + \frac{1}{2}i} \right)\left( {\sqrt 2 - \frac{3}{2} - \frac{1}{2}i} \right)}} \\ = \frac{{\sqrt 2 - \frac{3}{2} - \frac{1}{2}i}}{{{{\left( {\sqrt 2 - \frac{3}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{1}{2}i} \right)}^2}}} \\ = \frac{{\sqrt 2 - \frac{3}{2} - \frac{1}{2}i}}{{\left( {2 - 3\sqrt 2 + \frac{9}{4}} \right) + \frac{1}{4}}} \\ = \frac{{\sqrt 2 - \frac{3}{2} - \frac{1}{2}i}}{{\frac{9}{2} - 3\sqrt 2 }} \\ = \frac{{\left( {\sqrt 2 - \frac{3}{2} - \frac{1}{2}i} \right)\left( {\frac{9}{2} + 3\sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\frac{9}{2} - 3\sqrt 2 } \right)\left( {\frac{9}{2} + 3\sqrt 2 } \right)}} \\ = \frac{{\frac{9}{2}\sqrt 2 + 3 \cdot 2 - \frac{{27}}{4} - \frac{9}{2}\sqrt 2 - \frac{9}{4}i - \frac{3}{2}\sqrt 2 i}}{{\frac{{81}}{4} - 9 \cdot 2}} \\ = \frac{{ - \frac{3}{4} + \left( { - \frac{3}{2}\sqrt 2 - \frac{9}{4}} \right)i}}{{\frac{9}{4}}} \\ = - \frac{1}{3} + \left( { - \frac{2}{3}\sqrt 2 - 1} \right)i \\ \end {recolectado} $$