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Pregunta de álgebra de la Olimpiada Nacional de Australia 2013

Encontrar todos los enteros positivos $n$ para los que no son números reales $x_1, \; x_2, \cdots,\; x_n$ satisfactorio $$(i) \; \; -1<x_i<1 \; for \; i=1,2, \cdots n$$ $$(ii) \; \; x_1+x_2+ \cdots +x_n=0 \; and$$ $$(iii) \;\; \sqrt{1-x_1^2}+\sqrt{1-x_2^2}+ \cdots +\sqrt{1-x_n^2}=1$$ Fuente: AMO de 2013

Mis pensamientos: es fácil ver que esto funciona para todos, incluso,$n$$n=1$. Creo que todos los otros números impares son imposibles. Para probar esto traté de aplicación de Cauchy-Schwarz para la condición (iii). De modo que $ \sqrt{1-x_1^2}+\sqrt{1-x_2^2}+ \cdots +\sqrt{1-x_n^2} \leq 1$ con igualdad de iff $x_1=x_2= \cdots =x_n$ lo cual no es posible si $n$ es impar y mayor que $1$.

Sin embargo, esto no parece funcionar. Por lo que cualquier ayuda sería muy apreciada.

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zyx Puntos 20965

Puede haber alguna señal de condición de esclarecer acerca de las raíces cuadradas, pero básicamente se está haciendo (en orden creciente de importancia para la resolución del problema)

para $n$ ángulos cuyos senos suma a $0$ y cosenos se suman a $1$,

o mejor,

$n$ unidad de los números complejos, que se agregan a $i$.

Si el signo de la condición es que las raíces cuadradas son positivos, entonces usted quiere

$n$ vectores de la mitad superior de un círculo unitario, centrado en $0$, excluyendo los extremos, que se suma al vector unitario en el punto medio de la misma la mitad del círculo.

que es equivalente a

para que $m$ hay un infinito rectángulo con finito lado de longitud $1$, y una convexa $m$de lados del polígono con lados de toda la longitud de la $1$, que se ajusta en el interior del rectángulo y tiene el finita de los lados del rectángulo como uno de sus lados.

El problema parece difícil para los impares $n$ y por encima de las reformulaciones no resolver el caso por sí mismos.

2voto

Mike Cole Puntos 173

Usted puede reformular como un problema de optimización (teniendo en cuenta que ya sabemos lo que ocurre cuando se $n$ es aún):

Supongamos que $n \geq 3$ es impar, $\delta > 0$ (lo suficientemente pequeño wrt $n$) y que $x_i \in [-1+\delta,1-\delta]$ son tales que $\sum_i x_i = 0$. A continuación,$F(x_1,\dots,x_n) := \sum_i \sqrt{1-x_i^2} > 1$.

Debido a $B:=[-1+\delta,1-\delta]^n$ es un conjunto compacto, $F$ toma un valor mínimo en algún punto de $z = (z_1,\dots,z_n)$; y, sin pérdida de generalidad podemos suponer que $z_1 \leq z_2\dots \leq z_n$. Deje $z_1 = \dots = z_k = -1+\delta \neq z_{k+1}$, e $z_n = z_{n-1} = \dots = z_{n-l+1} = 1 -\delta \neq z_{n-l}$, por lo que el $-1+\delta$ aparece $k$ veces $1-\delta$ aparece $l$ a veces, y $z_{k+1},\dots,z_{n-l} \in (-1+\delta,1-\delta)$.

Yo reclamo que $z_{k+1} = \dots = z_{n-l}$ (lo que permite la posibilidad de que esta lista es sólo un elemento, o vacío). De hecho, si no, entonces usted puede seleccionar $k < i < j \leq n-l$. Considerar el punto de $z'$ con $z_i' = z_i - \varepsilon$, $z_j' = z_j + \varepsilon$ y $z_k' = z_k$ lo contrario. Por análisis fundamental:

$$ F(z') = F(z) + \varepsilon (\frac{\partial F}{\partial x_j}(z) - \frac{\partial F}{\partial x_i}(z)) + O( \varepsilon^2) \\ F(z) + \varepsilon (f(z_j) - f(z_i)) + O( \varepsilon^2) $$ donde $f(x) = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$ es el derivado de la $\sqrt{1-x^2}$. Si $\varepsilon$ es lo suficientemente pequeño, esta tendremos $F(z') < F(z) $, contradiciendo la elección de $z$. (De hecho, esto se desprende más fácilmente de apenas notar que $$\sqrt{1-x^2}$ es cóncava.)

Así, el "óptimo" de la secuencia es de la forma $$-1+\delta, -1+\delta,\dots,-1+\delta,z,z,z,\dots,z,1-\delta,1-\delta,\dots,1-\delta.$$ A continuación, me afirmación de que $k+l \geq n-1$, es decir, en la secuencia de arriba hay un $z$. Otra cosa, se puede sustituir un par de $z,z$$z-\varepsilon, z + \varepsilon$, de nuevo al disminuir el valor de $F$ debido a la concavidad de $\sqrt{1-x^2}$.

Una vez que sabemos que hay un $z$, es fácil ver que la condición de $\sum_i z_i = 0$ fuerzas de $k = l = \frac{n-1}{2}$$z = 0$. Sin embargo, en este punto, $F$ toma valor estrictamente mayor que $1$, lo que termina la prueba.

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