Covariación cuadrática

Question

No estoy seguro de la respuesta a esta pregunta. Para un movimiento browniano$B_t$ y un proceso$M$ definido por$M_t=B_{t-s}$ si$t>s$ y 0 más, ¿qué es la covarianza cuadrática$[B,M]_t$?

Encuentro$(t-s)$ si$t>s$ y$0$ else, pero la respuesta correcta será 0 y no puedo averiguar dónde me perdí algo.

Atentamente

Answer 1

Bueno, nos gustaría mostrar que el siguiente límite

$$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{\lfloor 2^n t \rfloor}(M_{(k+1)2^{-n}}-M_{k2^{-n}})(B_{(k+1)2^{-n}}-B_{k2^{-n}})$$ existe una.s., dado que esto sería entonces igual a $[B, M]_t$. Reescribir el límite como $$ \lim_{n\to\infty} \sum_{k=\lceil 2^ns\rceil}^{\lfloor 2^n t \rfloor}(B_{(k+1)2^{-n}-s}-B_{k2^{-n}-s})(B_{(k+1)2^{-n}}-B_{k2^{-n}})\\ $$

y ver que es el límite de las variables aleatorias $X_n$,$\mathbb{E}(X_n) = 0$$\text{Var}(X_n)\to 0$. (A continuación, mostrar la convergencia en la forma habitual, con la primera Borel-Cantelli lema.)

Cuando probé por primera vez esta pregunta, no me hagas esto - traté de demostrar que el $MB$ fue una constante en la martingala. El problema con esto - por lo que puedo ver es que usted tiene que encontrar una filtración con respecto a la que tanto $M$ $B$ son semimartingales. $M$ no parece ser un semimartingale w.r.t. la filtración natural de $B$.