Cierre compacto en$C([0,2])$

Question

a) ¿El cierre de$\left\{f_n(x)=\sin(x^n):n=1,2,3\dots\right\}$ forma un subconjunto compacto de$C([0,2])?$

b) ¿El cierre de$\left\{f_n(x)=\sin(x^\frac1n):n=1,2,3\dots\right\}$ forma un subconjunto compacto de$C([0,2])?$

Creo que sí para a) porque está delimitado de manera uniforme y para regular de manera regular $$ \begin{align}|f_n(x)-f_n(y)|&=|\sin(x^n)-\sin(y^n)|\\ &\le|x^n-y^n|\\&=|x-y||x^{n-1}+x^{n-2}y+...+y^{n-1}|\\ &\le M|x-y|\lt \epsilon \end {align} $$

¿No es correcto? por favor, si estoy equivocado entonces corrigeme

Creo que b) no es cierto pero no tengo el contraejemplo correcto.

Su ayuda será apreciada ..

Answer 1

Hecho: el límite uniforme de una sucesión de funciones continuas es continua.

El problema es que la constante de $M$ depende de $n$. Si $f_{n_k}$ es uniformemente convergente larga, entonces para cualquier $a\in [0,1)$, $f_{n_k}(a)\to 0$ mientras $f_{n_k}(1)=\sin(1)$. Llegamos a la conclusión de que el potencial de limitar la función no es continua, por lo tanto, de la "realidad" llegamos a una contradicción.

Para b), el único candidato es la función que toma el valor de$\sin(1)$$a\in (0,2]$$0$$0$, que no es continua.