Prueba con inducción matemática que$(\frac{n}{n+1})^2 + (\frac{n+1}{n+2})^2 + ... + (\frac{2n - 1}{2n})^2 \le n - 0.7$

Question

Prueba con inducción matemática. Tengo el siguiente problema de inducción:

$(\frac{n}{n+1})^2 + (\frac{n+1}{n+2})^2 + ... + (\frac{2n - 1}{2n})^2 \le n - 0.7$

Esta propiedad se aplica a todos los$n \ge 1$. He demostrado que es cierto para$n = 1$ y$n = k$, sin embargo, no puedo mostrar para$n = k+1$.

Así es como comienzo para$n = k+1$:

$(\frac{k+1}{k+2})^2 + (\frac{k+2}{k+3})^2 + ... + (\frac{2k - 1}{2k})^2 + (\frac{2k}{2k + 1})^2 + (\frac{2k + 1}{2k + 2})^2 \le k + 1 - 0.7$

¿Algunas ideas?

Answer 1

Ya casi has llegado. Al final, escribió la diferencia entre las dos sumas como una sola fracción complicada. Tal vez haya calculado mal algo allí, tal vez no, de todos modos, no es fácil de ver. Se vuelve mucho más fácil si procedemos en pasos, emparejando cosas similares con cosas similares. La diferencia es

$$\begin{align} \left(\frac{2n}{2n+1}\right)^2 + \left( \frac{2n+1}{2n+2}\right)^2 - \left(\frac{n}{n+1}\right)^2 &= \left(\frac{2n}{2n+1}\right)^2 + \left( \frac{2n+1}{2n+2}\right)^2 - \left(\frac{2n}{2n+2}\right)^2\\ &= \left(\frac{2n}{2n+1}\right)^2 + \frac{(2n+1)^2-(2n)^2}{(2n+2)^2}\\ &= 1 - \frac{(2n+1)^2 - (2n)^2}{(2n+1)^2} + \frac{(2n+1)^2-(2n)^2}{(2n+2)^2}\\ &= 1 - (4n+1)\left(\frac{1}{(2n+1)^2}-\frac{1}{(2n+2)^2}\right)\\ &< 1. \end {align}$$