Pregunta sobre la base de módulos libres.

Question

Deje $M$ $R$- módulo, $R$ un anillo, y $Z$ a un subconjunto no vacío de a $M$. Asumir que por cada $R$-módulo de $N$ y de cada mapa se $f: Z \rightarrow N$ existe un único $R$- lineal mapa $\tilde{f}$ : $M \rightarrow N$ s.t.la restricción de $\tilde{f}$$Z$$f$. Mostrar que $Z$ es una base de $M$.

Mi intento: Supongamos que no. Entonces no es un elemento de M, que no puede ser el único escrito como una combinación lineal de los elementos de la a a la Z. creo que se supone que debo considerar la inclusión del mapa de la Z a M y el uso extendido de mapa a partir de la hipótesis para llegar a una contradicción, pero no veo cómo.

https://books.google.co.in/books?id=JcWWDQAAQBAJ&pg=PA336&lpg=PA336&dq=a+subset+of+a+module+is+a+basis+if+for+each+map&source=bl&ots=9NeE1RyYJn&sig=SVi8KaMpNdd0wxzXGMcR6kDvMt0&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwjQ8PrY2OTZAhXHOI8KHb7WD_4q6aeiudad#v=onepage&q=a%20subset%20of%20a%20module%20is%20a%20basis%20if%20for%20each%20map&f=false

Lema 14.1 en el libro de arriba, prueba de ello, pero no puedo ver donde $g$ proviene, o por qué la composición en $N$ $N$coincide con la identidad en $N$.

Answer 1

1. $R$-lineal de la independencia: Vamos a $Z = \{z_1,z_2, ....\}$. El uso de una contradicción en el argumento: Vamos a $0 = \sum_i r_i z_i$ $r_i \in R$ tal que wlog $r_1 \neq 0$. Definir un mapa arbitrario $f: Z \to N$ donde $N$ es un escogido $R$-módulo, de tal manera que existe una $n \in N$$r_1 n \neq 0$. Set $f(z_i) = 0$ $i \neq 1$ pero $f(z_1) := n$ (sólo conjunto teórico). Pero este mapa no puede tener un $R$-extensión lineal $\tilde{f}:M \to N$ porque de $0 = \sum_ir_i z_i$ y la construcción de $f$.
2. $Z$ genera $M$ $R$módulo de: Si no existe un $R$-submódulo $S := <Z>_R \neq M$ generado por $Z$. Considerar la inclusión de mapa de $i: Z \to M$ concatenado con canónica $p : M \to M/S $. Obvoisly $i \circ p$ puede ser extendido a $p: M \to M/S$ y futhermore $S \subset ker (p)$. Y nosotros el $R$-mapa de $\bar{id}: M/S \to M/S$. Por supuesto,$M/S \neq 0$, por lo que existen al menos otro de morfismos $\bar{g}:M/S \to M/S$$\bar{g} \neq \bar{id}$. Obviamente, tanto la ampliación de $i \circ p$ tirando de ellos de vuelta a $M$. Contradicción a $M/S \neq 0$ y la singularidad de la ampliación.

Answer 2

Considerar el módulo de $R^{(Z)}$ (módulo en $Z$), y su base $(e_z)_{z\in Z}$. A continuación, $z\mapsto e_z$ se extiende a una lineal mapa de $f:M\to R^{(Z)}$.

Esto implica independencia lineal, de hecho, si $\displaystyle\sum_z r_z z = 0$,$\displaystyle\sum_z r_z f(z)= 0$, pero eso $\displaystyle\sum_z r_z e_z$, y desde $R^{(Z)}$ es libre, esto implica $\forall z, r_z = 0$.

Considerar, a continuación,$N=\langle Z\rangle$. Entonces usted tiene un canónica mapa de $Z\to N$, que por hipótesis se extiende a un mapa de $i: M\to N$. Obviamente, $N\subset M$ $i$ es una retracción de esta inclusión, que implica que $M=N\oplus T$ algunos $T$. Ahora, si usted tiene dos tarjetas de ampliación de $Z\to T$, $z\mapsto 0$ (el uno igual a $0$ $T$ y la identidad en $T$). Esto implica que estos dos mapas son los mismos, así $T=0$, $M=N$.

En conclusión, $Z$ es un linealmente independientes de generación de conjunto, por lo tanto una base