¿Cómo puedo probar o refutar esta conjetura de número primo?

Question

¿Cómo podría probar algo así?

Demostrar o refutar: Si $p$ y $q$ son números primos para los que $\ p < q$ entonces $\ 2p+q^2$ es impar.

Estoy asumiendo que es definitivamente cierto porque y incluso $+$ impar es siempre impar, y impar $\times$ impar es siempre impar también. Así que sé que es verdad, pero ¿cómo lo pruebo?

Answer 1

Sugerencia Desde $p <q$ son números primos, entonces $q \geq 3$ y por lo tanto $q$ es impar.

Desde $2p$ es par y $q$ es impar, $2p+q^2$ es ....

Answer 2

Dado que usted sabe que $2p$ es par, esto es cierto si $q^2$ es impar para todos $p$ y $q$ que cumplen esa condición. Como no se puede elegir el único primo par que sea $q$ ya que no hay primos menores que él para tomar el papel de $p$ , ya sabes $q^2$ para ser impar, y ya está.

Answer 3

Muchas gracias @N.S.

Desde $\ p$ y $\ q$ son números primos y $\ p<q$ entonces $\ q>= 3$ (porque el menor y único primo par es 2), y por tanto q es siempre impar. Como $\ 2p$ es un número entero par y q es impar, entonces por (1a) $\ 2p+q^2$ es impar.

Cláusula (1a): Demostrar que si $\ a$ es par y $\ b$ es impar, entonces $\ a+b$ es impar.

Si $\ a$ es incluso entonces $\ a = 2k$ para algún número entero $\ k$ . Es $\ b$ es impar entonces $\ b = 2j+1$ para algún número entero $\ j$ . Entonces, por sustitución, $\ a+b=2k+2j+1 = 2(k+j)+1 = 2b+1$ donde $\ b$ es un número entero y $\ b=k+j$ . Por lo tanto, la suma de un par y un impar es siempre impar.