¿Cómo resolver sistemáticamente este sistema de ecuaciones?

Question

Esto puede parecer un problema trivial, pero tengo algunos problemas en la organización de los datos. Así que supongo que se dan $f(x,y)=x^2y^2(1+x+2y)$ y usted quiere encontrar los puntos críticos. Así, nos encontramos $$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=xy^2(2+3x+4y)\textrm{ and }\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2x^2y(1+x+3y).$$

Ahora nos fijamos $f_x= 0$ e $f_y=0.$ tenemos Así un sistema de $$\begin{split} xy^2(2+3x+4y) &=0\\ 2x^2y(1+x+3y) &=0 \end{split}$$

Ahora tenemos un montón de casos. La forma en que pienso acerca de esto es como sigue: $$((x=0)\lor(y=0)\lor(3x+4y=-2))\land((x=0)\lor(y=0)\lor(x+3y=-1)).$$ Entonces considero que cada una de estas posibilidades por separado, pero esto parece ser lenta y a veces me olvido de algunas soluciones. Así que me preguntaba si hay otros métodos que se pueden usar para resolver este tipo de problemas.

Answer 1

Para $xy^2(2+3x+4y) =0$ tenemos el conjunto de soluciones.

PS

Para $$S_1 = \{x = 0, y = 0, 2+3x+4y = 0\}$ tenemos el conjunto de soluciones.

PS

Así que para el sistema de ecuaciones tenemos

PS

Answer 2

Usa lo contrario de la propiedad distributiva:

$((x=0)\lor(y=0)\lor(3x+4y=-2))\land((x=0)\lor(y=0)\lor(x+3y=-1))\\\equiv(x=0)\lor(y=0)\lor[(3x+4y=-2)\land(x+3y=-1)]$

$3x+4y+2=0=x+3y+1$ es solo un par de líneas rectas (ecuaciones lineales) que se intersecan en $(-2/5,-1/5)$ . Por lo tanto, tienes $(x=0)\lor(y=0)\lor(x=-2/5\land y=-1/5)$