En 30 cajas hay 15 bolas. ¿Azotar todas las bolas en 10 cajas o menos?

Question

Pregunta1: He encontrado 30 cajas. En 10 cajas me encontré con 15 bolas. En 20 cajas encontré 0 pelotas. Después recogí de 15 bolas puse al azar dentro de las cajas.

¿Cuál es la probabilidad de que todas las pelotas son en sólo 10 casillas o menos?

Pregunta2: He encontrado 30 cajas. En 10 cajas me encontré con 15 bolas. En 20 cajas encontré 0 pelotas. En dos de los cuadros que he podido encontrar de 3 bolas. (Así que en un cuadro tiene que ser de 2 bolas y en los otros siete cajas tienen que ser 1 pelota.) Después recogí de 15 bolas puse al azar dentro de las cajas.

¿Cuál es la probabilidad de que me encuentre en sólo 2 cajas de 6 bolas o más?

Escribí un c# programa y lo intentó de 1 millón de veces. Mi solución fue: Con una probabilidad de 12,4694% de que todas las pelotas son de 10 casillas o menos.

Answer 1

La solución de la Pregunta 1:

Esta es una ocupación problema con $n=30$ cajas y $k=15$ bolas.

Vamos a considerar en primer lugar el número esperado de las cajas vacías. Que es mucho más fácil de obtener. La respuesta exacta es $30(1-1/30)^{15}=18.04.$ Esto es aproximadamente el $30/\sqrt e.$ Ver la respuesta del Señor Irregular a esta pregunta:

Hacer 400k elecciones al azar de 400 kb muestras siempre parece terminar con el 63% opciones distintas, ¿por qué?

La probabilidad de que exactamente $j$ cajas vacías es, por $n-k\le j\le n-1$:

$$P(j)={n \choose j}\sum_{m=0}^{n-j}(-1)^m {n-j \choose m}\left(1-\frac{j+m}n\right)^k $$

Ver esto:

http://probabilityandstats.wordpress.com/2010/04/04/a-formula-for-the-occupancy-problem/

Para $n=30$ $k=15:$

$P(20)$ $P(24)$es $0.096,0.024,0.0036,0.00029,0.000013,....$

y la probabilidad de que al menos $20$ celdas vacías = 0.124371

La solución de la Pregunta 2:

Tirar bolas 15 a 30 cuadros. ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente resultado:

2 triples, 1 doble y 7 individuales de ocupación de las cajas y el resto vacío.

$${30 \choose 2} {28 \choose 1}{27 \choose 7}\frac{15!}{3!3!2!1!^7}\frac{1}{30^{15}} $$ $$=\frac{(30)(29)...(21)}{30^{15}2!1!7!}\frac{15!}{3!3!2!1!^7} $$ Primero seleccionamos los 2 cuadros diferentes para los triples; de los 28 restantes cajas que hemos seleccione 1 para el doble; de los 27 restantes cajas seleccionamos 7 para los singles. A continuación, el coeficiente multinomial da el número de formas de asignar el 15 de bolas a esas cajas y hay $30^{15}$ igualmente probable maneras de lanzar el 15 de bolas en el 30 cajas.

Answer 2

Aleatorio/ensayos simulaciones de Monte Carlo son notoriamente lentos a converger, con un error esperado inversamente proporcional a la raíz cuadrada del número de ensayos.

En este caso no es difícil (dado un lenguaje de programación que proporciona grandes enteros) para hacer un recuento exacto de los casos. Efectivamente los resultados son particiones de 15 bolas en un cierto número de cajas (tenemos treinta cajas para trabajar, así que al menos la mitad estará vacía).

Escribí un Prólogo de programa para hacer esto (Amsi! Prólogo ha enteros de precisión arbitraria incorporado), y obtuvo los siguientes resultados:

$$ Pr(\text{10 o menos cajas ocupado}) = \frac{59486359170743424000}{30^{14}} \aprox 0.124371 $$

$$ Pr(\text{2 cajas tienen 6 o más bolas}) = \frac{30415369655816064000}{30^{14}} \aprox 0.063591 $$

The reason I'm dividing by $30^{14}$ in these probabilities is because I normalized the counting to begin with one case where a ball is in one box. If we counted that as thirty cases, we'd need to divide by $30^{15}$. So this keeps the totals slightly smaller. Each ball we add increases the total number of cases by a factor of $30$.

I wrote a recursive rule to build cases for $n+1$ balls from cases for $n$ balls. The first few cases have the following counts:

 /* case(Balls,Partition,LengthOfPartition,Count) */ 
 case(1,[1],1,1).   /* Count is nominally 1 to begin */
 case(2,[2],1,1).
 case(2,[1,1],2,29).
 case(3,[3],1,1).
 case(3,[1,2],2,87).
 case(3,[1,1,1],3,812).   /* check: for Sum = 3, sum of Count is 900 */

The number of cases generated is modest enough for a desktop, daunting to manage by hand. For $n=15$ there are $176$ particiones. También simplifica el código de Prólogo para mantener las particiones como las listas en orden ascendente.

Answer 3

Voy a suponer que las bolas y las cajas son indistinguibles.

El primer problema es: Si puedo distribuir $15$ bolas entre $30$ cajas, ¿cuál es la probabilidad de que en la mayoría de las $10$ cajas contienen una pelota?

En primer lugar, el hecho de que no se $30$ cajas no importa, ya que son indistinguibles. Tan sólo tenemos que considerar el problema como si no $15$ cajas.

Segundo, vamos a resolver el problema de encontrar la probabilidad de que más de $10$ cajas contienen una pelota, y restar ese número de $1$.

No es exactamente $1$ a ocupar $15$ cajas con $15$ bolas: $\{1,1,1\cdots\}$

También hay exactamente $1$ manera de ocupar $14$ cajas con $15$ bolas, ya que, de nuevo, las cajas son indistinguibles: $\{2,1,1\cdots\}$

Hay $2$ maneras de ocupar $13$ cajas de: $\{3,1,1\cdots\}$ o $\{2,2,1,1\cdots\}$

Hay $3$ maneras de ocupar $12$ cajas, y $5$ maneras de ocupar $11$ (usted puede y debe verificar estos números).

Por último, ¿de cuántas maneras distintas podemos distribuir $15$ bolas sobre la $15$ cajas? Este número es exactamente igual a $p(15)=176$ donde $p(n)$ es la función de partición.

Así que la respuesta a problema 1 es $1-(1+1+2+3+5)/176=164/176\approx93.2\%$

EDIT: yo creo que esta respuesta es drásticamente diferente de la obtenida por su programa, por la siguiente razón: podría haber significado, en su declaración del problema, "¿cuál es la probabilidad de todos los $15$ bolas están contenidas en $10$ particular las cajas?" Esto cambia significativamente la pregunta; en particular, el número total de cajas se $30$ es pertinente. Quisiera saber si esto es el malentendido.