La categoría$\bf{FinVect}$ de espacios vectoriales finitos es rígida.

Question

Estoy siguiendo Pavel Etingof et al libro sobre el tensor de categorías.

Dan FinVect como un ejemplo de una rígida categoría monoidal, con la evaluación de mapa dado por $\text {ev}_V(\epsilon\otimes v)=\epsilon(v)$ y coevaluation mapa de $\text{coev}_V:\mathbb K \rightarrow V\otimes V^*$ "la costumbre de incrustación".

Mi pregunta es embarassingly simple: ¿qué es esta "costumbre de incrustación?" Yo estaba tratando de ver lo que había a utilizar la definición de la evaluación y coevaluation, pero no consiguió nada.

Answer 1

Lo Etingof et al llamar a la "costumbre de la incrustación" es dado por la extensión lineal del mapa$$1_K\mapsto\sum_{i = 1}^{n}v_i\otimes v_i^* $$

donde la $v_i$ son una base de V y $v_i^*$ denota la base dual de la $v_i$'s.

Esto tiene perfecto sentido si se desea $ev \circ f\otimes id\circ coev = Trace(f)$ cualquier $f:V\longrightarrow V$.

Intente $f=id$ y usted encontrará que $$ev\circ coev = dim(V)$$