El siguiente es válida para un caso específico en el cual el volumen encerrado por 3 esferas está contenida dentro del triángulo formado por las 3 de la esfera de los centros.
Soy reacia a poner esta respuesta aún a pesar de que siento que es correcto, porque la forma cerrada que he encontrado es en realidad bastante feo. La derivación es muy bonita, pero el resultado de la integral es feo. Voy a hablar un poco al final.
Voy a publicar mis pensamientos de todos modos, con la esperanza de que alguien puede venir y simplificar estas fórmulas en una mejor forma, o tal vez encontrar una forma mucho más simple fórmula por completo!
Derivación
Deje $T$ ser el sólido triángulo definido por los lados de longitud $a,b,c$. Definir 3 discos de raius $r$: $D,E,F$ y dejar que cada vértice de $T$ ser el centro de un disco de forma natural. Consulte la figura que se incluye a continuación (en la parte inferior) para una descripción gráfica.
Deje que las cuñas de ser
$$W_1 := D \cap T$$
$$W_2 := E \cap T$$
$$W_3 := F \cap T$$
Deje que los lentes de ser
$$L_1 := D \cap E$$
$$L_2 := E \cap F$$
$$L_3 := F \cap D$$
y dejar que el triángulo redondeado
$$ R := D \cap E \cap F .$$
Cabe señalar que cada una de las $L_i$ es atravesada por un lado de la $T$. Que es
$$ \left| L_i \cap T \right| = \left| L_i \cap \bar{T} \right| $$ where $\bar{T}$ denotes the compliment of $T$ and $| \cdot |$ denota área. Así que, naturalmente, definir el medio de lentes
$$H_1 := T \cap L_1 $$
$$H_2 := T \cap L_2 $$
$$H_3 := T \cap L_3 $$
Vamos $$ f(r) = \left| R \right| $$, it follows that the volume $V$ contained in the overlap of 3 spheres with equal radii $r_s$ es igual a
$$ V = 2 \int _0 ^{m} f\left(\sqrt{r_s^2-h^2}\right) dh$$
donde $m = \sqrt{r_s^2 - \left( \frac {\max\{a,b,c\}} {2} \right)^2}.$
Queda por encontrar una forma cerrada de $f(r)$. Podemos encontrar una aplicación de la inclusión como principio de exclusión de
$$ f(r) = |T| - \sum_i |W_i| + \sum_i |H_i| $$
Tenemos $$\sum |W_i| = \frac{\pi}{2} r^2$$
ya que la suma de los angulos internos de $T$ $\pi.$
Por de la Garza elegante fórmula tenemos
$$ |T| = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$ where $s = \frac{1}{2} (a+b+c).$
Por último, podemos calcular el área de cada mitad de la lente con
$$|H_i| = r^2 \cos^{-1} \left( \frac{d_i}{2r} \right) - \frac{1}{4} d_i \sqrt{4r^2-d_i}$$ where $d_i = c,b,a$ for $i=1,2,3$ el uso de las fórmulas para lentes , pero reducido a la mitad.
Discusión
Esto parece ser una forma cerrada, como la más difícil de las integrales a calcular, es decir, las correspondientes a las $|H_i|$ términos se encuentran para tener una forma cerrada como por una consulta rápida aquí y aquí en wolfram alpha.
Pero debido a que estos indefinido integrales son tan fea, me temo que esto forma cerrada tiene poco uso práctico a menos que una simplificación o de otra fórmula puede ser encontrado!
A pesar de que uno todavía puede ser capaz de encontrar un estrecho superior y el límite inferior por simplifiying/aproximar estas feo integrales.
![Figure depicting 3 disks intersecting]()
