Perelman F-funcional y su análisis

Question

Al ir a través de la Kleiner y Lott notas "Notas sobre Perelman los papeles", me he encontrado con un argumento que parece mal para mí, o (más probable) no entiendo algo. Se trata de la $F$-funcional. Se define de la siguiente manera: $$F(g,f)=\int_{M}(R+\left | \bigtriangledown f \right |^2)e^{-f}dV,$$ donde $g$ es la métrica de Riemann, $f$ es una función suave sobre el colector $M$.

Se afirma, que la primera variación de la funcional puede ser expresado de la siguiente manera: $$\delta F(v_{ij},h)=\int_{M}e^{-f}\left [ -v_{ij}(R_{ij}+\bigtriangledown_{i}\bigtriangledown _{j}f)+(\frac{v}{2}-h)(2\Delta f-\left | \bigtriangledown f \right |^2+R) \right ]dV,$$

donde $v_{ij}=\delta g_{ij}$ es simétrica covariante 2-tensor en $M$ (más específicamente, es un elemento del espacio de la tangente de infinitas dimensiones del colector de todos los lisas métricas de Riemann en $M$), $h=\delta f$ es una función suave sobre $M$ (f es una función suave), $v=g^{ij}v_{ij}$.

Parte de la prueba es como sigue: $$\delta R=-\Delta v+\triangledown_{i}\triangledown_{j}v_{ij}-R_{ij}v_{ij}$$ $$\delta (e^{-f}dV)=(\frac{v}{2}-h)e^{-f}dV$$ $$\delta \left | \triangledown f \right |^2=-v^{ij}\triangledown_{i}f\triangledown_{j}f+2<\triangledown f,\triangledown h>$$ Entiendo que estos tres líneas muy claramente - no es muy difícil. Poniendo todo junto llego $$\delta F=\int_{M}\left [-\Delta v +\triangledown_{i}\triangledown_{j}v_{ij}-R_{ij}v_{ij} +(R+\left | \triangledown f \right |^2)(\frac{v}{2}-h) +2<\triangledown f,\triangledown h>-v^{ij}\triangledown_{i}f\triangledown_{j}f \right ]e^{-f}dV$$.

Y que se fueron mis resultados no coinciden con Kleiners y Lotts resultado. La diferencia es que en su derivación tienen $v_{ij}\triangledown_{i}f\triangledown_{j}f$ en lugar de $v^{ij}\triangledown_{i}f\triangledown_{j}f$. Pero esta parte es sólo direct plug-in de los tres variación fórmulas anteriores. Y esas son exactamente lo mismo en mi y derivación por parte de los autores.

Así que, ¿qué me estoy perdiendo? Lo que no estoy viendo?

Answer 1

Me acabo de dar cuenta, que me olvidé por completo de un aspecto. Cuando yo estaba pensando en repetidas índices como una sumatoria sobre ellos, se me olvidaba, que la suma que había que hacer con respecto a la métrica de $g$. Por ejemplo $$div\alpha_{ij}=g^{jk}\triangledown_{j}\alpha_{ki}=\triangledown_{j}\alpha_{ji},$$

donde $\alpha$ es un covariante 2 tensores, y la última ecuación se refleja en la convención de no molestar a elevar los índices y a la suma sobre índices repetidos. La aplicación de esto en mi caso, tenemos $$v^{ij}\triangledown_{i}f\triangledown_{j}f=g^{ip}g^{jq}v_{pq}\triangledown_{i}f\triangledown_{j}f=v_{ij}\triangledown_{i}f\triangledown_{j}f$$

La primera expresión es sólo una fórmula que me dieron, a continuación, la reducción de los índices obtenemos la segunda expresión y la convención de las que he descrito anteriormente nos lleva a la tercera expresión que es lo que Kleiner y Lott había.

Por lo tanto, mi error fue que me olvidé de tener siempre en mente la suma con respecto a la métrica.

Gracias por @mike y @Anthony Carapetis para obligarme a pensar más sobre el uso adecuado de los índices.