Prueba $\{ (x,y) \in [0,1]^2: x-y\in \mathbb{Q}\}$ es medible.

Question

Dejemos que $T:=\{ (x,y) \in [0,1]^2\ :\ x-y\in \mathbb{Q} \}$ . Demostrar que $T$ tiene medida cero, pero cumple con todo conjunto de la forma $A \times B$ , donde $A$ y $B$ son conjuntos medibles de medida positiva en $[0,1]$ .

T es medible ya que será la unión contable de líneas en $[0,1]^2$ y, por tanto, será de medida cero, pero ¿por qué se cruza con cada $A \times B$ ?

Answer 1

Dejemos que $A^{\sharp}=\bigcup_{q\in{\mathbb Q}}(A+q)\cap [0,1]$ . Entonces $A^{\sharp}$ es medible, y por ello Pregunta sobre el MSE $\mu(A^{\sharp})$ es o bien $0$ o $1$ . Pero $A\subseteq A^{\sharp}$ (toma $q=0$ ), por lo que debemos tener $\mu(A^{\sharp})=1$ . De ello se desprende que $\mu(A^{\sharp}\cap B)=\mu(B)$ ; en particular $A^{\sharp}\cap B$ es no vacía. Sea $b$ sea un elemento de este conjunto no vacío. Entonces $b\in B$ y como $b\in A^{\sharp}$ debemos tener un $a\in A$ y un $q\in {\mathbb Q}$ tal que $b=a+q$ . Entonces $(a,b)\in (A\times B) \cap T$ .