Mostrando una función tiene sólo un punto de continuidad.

Question

Vamos

$$f(x) = \begin{cases}\;\;\, x\;\;,\;\text{ if } x \in \mathbb{Q}\\ -x\;\;,\; \text{ if } x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{cases}$$

(i) Determinar el punto o los puntos de continuidad de $f$. (ii) demuestre que el punto de los puntos de continuidad de $f$ son los únicos puntos.

Claramente su continua en $0$. No estoy seguro de cómo demostrar que es continua en a $0$, pero yo sé cómo demostrar que no tiene otros puntos de continuidad.

Answer 1

Deje $\epsilon >0$. A continuación, para $\delta = \epsilon$ si $|x|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(0)|=|f(x)|=|x|<\delta=\epsilon \Rightarrow$
$f$ es continua en a $0$ .

Answer 2

Deje $\,\{x_n\}_{n\in\Bbb N}\,$ ser una verdadera secuencia s.t. $\,x_n\xrightarrow [n\to\infty]{} 0\,$ (y por lo tanto también se $\,-x_n\xrightarrow [n\to\infty]{} 0\,$) .

Es fácil ver que tenemos

$$f(x_n)=\pm x_n\xrightarrow [n\to\infty]{}0=f(0)$$

Y $\,f\,$ es continua en a $\,x=0\,$ como el anterior es cierto para cualquier real sucesión convergente a cero.