Los valores del cociente de Herbrand

Question

Para un determinado grupo cíclico $G$, no es el Herbrand cociente en la teoría de grupo cohomology. He calculado algunos de los cocientes y siempre me acercó con un número Entero como una solución. He fracasado en demostrar que para el Herbrand cociente $h(M)$ $G$- Módulo de $M$ los siguientes es verdadera:

$$h(M)\in\mathbb{Z}\quad\text{for all $G$-Modules $M$}.$$

Así que mi pregunta es si esta afirmación es verdadera, o si hay algunos ejemplos de $G$-Módulos de $M$$h(M)\in\mathbb{Q}-\mathbb{Z}$?

Answer 1

No, hay ejemplos con los no-entero Herbrand cociente. Aquí doy dos de ellos:

1 - $G=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ $M$ $n$- divisible abelian grupo finito no trivial $n$-torsión de los elementos. A continuación, el Herbrand cociente de la trivial acción es $\frac{1}{|\{x\in M:\,nx=0\}|}$.

2 - Considerar el único trivial acción de $G=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$M=\mathbb{Z}$, (por lo que la acción de la trivial elemento es $x\to -x$). A continuación,$H^2(G,M) = 0, H^1(G,M) = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$h(M)=\frac12$.