Resolver para $x$ la ecuación $\arccos(2x)-\arccos(x)=\pi/3$ .
Mi intente utilizando $\cos(a-b)$ . Pero me da una expresión sqrt que no sé cómo manejar.
Resolver para $x$ la ecuación $\arccos(2x)-\arccos(x)=\pi/3$ .
Mi intente utilizando $\cos(a-b)$ . Pero me da una expresión sqrt que no sé cómo manejar.
Esto se reduce a una cuadrática fácil. Primero, toma el coseno de ambos lados. Usando la fórmula de adición del coseno, obtengo
$$2 x \cdot x + \sqrt{1-4 x^2} \sqrt{1-x^2} = \frac12$$
Manipula y eleva al cuadrado ambos lados para obtener
$$\left ( 2 x^2-\frac12\right)^2 = (1-4 x^2)(1-x^2) = 1-5 x^2+4 x^4$$
o
$$3 x^2=\frac{3}{4} \implies x = \pm \frac{1}{2}$$
Introduciendo ahora ambas respuestas, se ve que sólo el $-1/2$ resultado tiene sentido para la rama principal (o cualquier rama) de los arccos. Por lo tanto, $x=-1/2$ .
Evitar la cuadratura, que a menudo conlleva la carga de raíces extrañas
Sea $\displaystyle \arccos x=\theta\ \ \ \ (1)\implies x=\cos\theta$
Tenemos $\displaystyle \arccos(2\cos\theta)-\theta=\frac\pi3\implies \arccos(2\cos\theta)=\theta+\frac\pi3\ \ \ \ (2) $
Como el valor principal de $\arccos$ mentiras $\in[0,\pi],$
de $(1), 0\le\theta\le\pi$
formulario $(2), 0\le\theta+\frac\pi3\le\pi\implies -\frac\pi3\le\theta\le\frac{2\pi}3$
Por lo tanto, necesitamos $\displaystyle 0\le \theta\le \frac{2\pi}3\ \ \ \ (3)$
$\displaystyle (2)\implies 2\cos\theta=\cos\left(\frac\pi3+\theta\right)=\cos\frac\pi3\cos\theta-\sin\frac\pi3\sin\theta$
$\displaystyle \implies\frac{\sqrt3}2\sin\theta=\left(\frac12-2\right)\cos\theta$
$\displaystyle \implies\tan\theta=-\sqrt3=\tan\left(-\frac\pi3\right)$
$\displaystyle \implies \theta=n\pi-\frac\pi3$ donde $n$ es cualquier número entero
En $\displaystyle(3), 0\le n\pi-\frac\pi3\le \frac{2\pi}3\iff 0\le3n-1\le2\implies n=1$
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