Distribución asintótica de la Media de la Muestra

Question

Supongamos que tengo una variable aleatoria discreta $X$ que sigue una distribución geométrica en $x=0,1,2,...$, y tomo una muestra aleatoria a partir de esta distribución de tamaño de $n$. ¿Cuál es la distribución asintótica de $\bar X$?

Ya sé que $E(X)=\frac{1-p}{p}$$V(X)=\frac{1-p}{p^2}$.

Esto parece como una aplicación del teorema central del límite, así que estoy seguro de que $\bar X$ converge a una distribución normal. Sin embargo, la parte que es de disparo mí es el cálculo de la media y la varianza de la distribución normal que es convergente. ¿Cómo hacer esto?

Answer 1

Tenga en cuenta que $$E\bar{X}=E\a la izquierda(n^{-1}\sum_{i=1}^nX_{i}\right) =n^{-1}\sum_1^nEX_i =n^{-1}(nEX)=EX$$ puesto que el $X_i$ son idénticamente distribuidas. Del mismo modo, $$V(\bar{X})=V\left(n^{-1}\sum_{i=1}^nX_{i}\right) =n^{-2}\sum_1^nV(X_i) =n^{-2}(nV(X)) =n^{-1}V(X)$$ puesto que el $X_i$ son independientes e idénticamente distribuidas.

Answer 2

Usted tiene $$\operatorname E( \, \overline X \, ) = \operatorname E\left( \frac {X_1+\cdots+X_n} n \right) = \frac 1 n \left( \operatorname E(X_1) + \cdots + \operatorname E(X_n) \right) = \frac 1 n \cdot n \operatorname E(X) = \operatorname E(X)$$ y $$\begin{align} \operatorname{var}\left( \sqrt n \cdot \overline X \right) = \operatorname{var} \left( \frac{X_1 + \cdots + X_n}{\sqrt n} \right) = \frac 1 n \left(\operatorname{var}(X_1) + \cdots + \operatorname{var}(X_n) \right) = \frac 1n \cdot n \operatorname{var}(X) \end{align}$$

Por lo $\displaystyle \dfrac{\overline X - \operatorname E(X)}{\sqrt n}$ valor esperado $0$ y la varianza $1,$ y enfoques $N(0,1)$ $n\to\infty.$