el uso de la técnica de inducción para demostrar $\Pi_{i=1}^{k}(2i-1)=\frac{(2k)!}{(k!)2^k}$

Question

$\Pi_{i=1}^{k}(2i-1)=\frac{(2k)!}{k!2^k}$

claramente los productos están en el conjunto de los números naturales.

Paso uno demuestra que P(1) es verdadera

$2(1)-1=1$

Verdadero.

Paso 2 inducción de la asunción

$\Pi_{i=1}^{k}(2i-1)=\frac{(2k)!}{k!2^k}$

Esto es lo que suponemos es cierto.

Paso 3

$P(k+1)$

$\Pi_{i=1}^{k+1}(2i-1)=\frac{(2k+1)!}{(k+1)!2^{k+1}}$

El lado derecho puede ser reducido a $\frac{2}{2^k2}$

$\Pi_{i=1}^{k+1}(2i-1)=2(k+1) + \Pi_{i=1}^{k}(2i-1)$

que es el último producto de los tiempos de la multiplicación de todos los productos anteriores.

$=2k+1 + \frac{(2k)!}{k!2^k}$

$=\frac{(2k+1)(2k)!}{k!2^k}$

$=\frac{2k+1(2)}{2^k}$

No estoy seguro de cómo continuar con esta prueba.

Answer 1

$\prod_{k=1}^{n+1}(2k-1)=(2(n+1)-1)\prod_{k=1}^{n}(2k-1)=(2n+1)\frac{(2n)!}{n!2^{n}}=\frac{(2(n+1))!}{2(n+1)n!2^{n}}=\frac{(2(n+1))!}{(n+1)!2^{n+1}}$

Answer 2

Wy ¿necesita una inducción para esto? Es una exageración. Lugar: $$ 1 \cdot 3 \ldots (2n-1) = \frac{1 \cdot 2 \ldots 2n}{2 \cdot 4 \ldots 2n} =\frac{(2n)!}{2 \cdot (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 3) \ldots (2 \cdot n)} = \frac{(2n)!}{n! 2^n} $$ El último paso es porque usted ha $n$ términos en el denominador.