Derivada de una función split

Question

Tenemos la función:

$$f(x) = \frac{x^2\sqrt[4]{x^3}}{x^3+2}.$$

Reescribí como $$f(x) = \frac{x^2{x^{3/4}}}{x^3+2}.$$

Después de un tiempo de diferenciar puedo obtener la respuesta final:

$$f(x)= \frac{- {\sqrt[4]{\left(\frac{1}{4}\right)^{19}} + \sqrt[4]{5.5^7}}}{(x^3+2)^2}$$(Al menos no está detrás de los cuatro)

Pero mi hoja de respuestas da una respuesta diferente, pero también muestran un mal cálculo, por lo que no sé cuál es la respuesta correcta, ¿me pueden ayudar con esto?

Answer 1

Si bien la recopilación de poderes es una buena idea, como se ha sugerido, las cosas son más claras después de tomar formal logaritmo antes de diferenciar:

$$\ln f=2\ln x+\frac{3}{4}\ln x -\ln(x^3+2)$$ $$\frac{f'}{f}=\frac{2}{x}+\frac{3}{4x}-\frac{3x^2}{x^3+2}=\frac{11}{4x}-\frac{3x^2}{x^3+2}=-\frac{x^3-22}{4x(x^3+3)}$$ $$f'=-\frac{x^\frac{11}{4}(x^3-22)}{4x(x^3+2)^2}$$

Answer 2

Deje $y=\frac{x^2\cdot x^{3/4}}{x^3+2}$ $y=\frac{x^{11/4}}{x^3+2}$ y, por tanto,$y=x^{11/4}\times(x^3+2)^{-1}$. Ahora el uso de la regla del producto de dos funciones: $$(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'$$ Here $f(x)=x^{11/4}$ and $g(x)=(x^3+2)^{-1}$. So $f'(x)=\frac{11}{4}x^{7/4}$ and $g'(x)=(-1)(3x^2)(x^3+2)^{-2}$. Pero el pensamiento de su respuesta en el cuerpo, no puedo ver de donde provienen.