Evaluación De Límites

Question

Estoy teniendo problemas para entender esta cuestión de los límites. Supongamos que $r(x)$ es una función donde

$$ \lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{r(x)}{x^2} =0 \ . $$

Por favor alguien puede explicar cómo, desde el primer límite que puedo mostrar que:

$$ \lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{r(x)}{x} =0 \ . $$

Answer 1

Desde

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{r(x)}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{% r(x)}{x}\cdot \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}=0$$

y

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}\neq 0,$$

debemos tener

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{r(x)}{x}=0.$$

Answer 2

$$ \lim_{x\to0}\frac{r(x)}{x} = \lim_{x\to0}\left(\frac{r(x)}{x^2} \cdot x\right) $$ e ir de allí.

Answer 3

Aquí es un delta, epsilon prueba.

Deje $\varepsilon > 0$. Desde $$ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{r(x)}}{{x^2 }} = 0, $$ hay salidas de $\delta > 0$ tal que $$ \bigg|\frac{{r(x)}}{{x^2 }}\bigg| = \bigg|\frac{{r(x)}}{{x^2 }} - 0 \bigg| < \varepsilon $$ para cualquier $x$ tal que $0 < |x| < \delta$. Claramente, podemos asumir que $\delta < 1$. A continuación, $$ \bigg|\frac{{r(x)}}{x} - 0 \bigg| = \bigg|\frac{{r(x)}}{x}\bigg| < |x|\varepsilon < \delta \varepsilon < \varepsilon $$ (para cualquier $x$ tal que $0 < |x| < \delta$), y por lo tanto $$ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{r(x)}}{{x }} = 0. $$