Resolver la integral (convolución) ecuación

Question

Dada una función: $u(t) = \exp\left( -\frac{At^2}{1+t}\right),$ $A>0, t>0,$

y una ecuación: $\frac{d u(t)}{dt} = \int^{t}_0 \phi(t-\tau) u(\tau) d \tau .$

Cómo encontrar un cerrado expresión para $\phi(t)$?

Answer 1

Los primeros términos de la expansión de la serie de la función $\phi(t)$ puede ser calculada como se muestra en el adjunto :

Answer 2

Tomando la transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación $$ s\,(\mathcal{L}u)(s)-u(0)=(\mathcal{L}\phi) de la(s)\,(\mathcal{L}u)(s), $$ y $$ (\mathcal{L}\phi)(s)=s-\frac{1}{(\mathcal{L}u)(s)}, $$ $$ \phi=\mathcal{L}^{-1}(s)-\mathcal{L}^{-1}\Bigl(\frac{1}{(\mathcal{L}u)(s)}\Bigr). $$ Por desgracia parece que no hay forma cerrada para $\mathcal{L}(u)(s)$ en términos de funciones elementales. Un ingenuo análisis asintótico sugiere que $$ (\mathcal{L}\phi) de la(s)\sim - \quad\text{como }\to\infty. $$