Buen día,
Actualmente estoy trabajando con la "Probabilidad: Teoría y Ejemplos" por Durrett y mientras familiarizarse con condicionales expectativas llegué a este problema:
Considerar la probabilidad de Lebesgue espacio en el intervalo de $[0,1)$. (I. e. el espacio de estado es$Ω = [0, 1)$, $\sigma$- campo es el conjunto de Lebesgue medibles conjuntos y la medida es la medida de Lebesgue.) Definimos la variable aleatoria $X$ como: $$X(w)=\begin{cases} 2w &, 0\leq w < 1/2 \\ 2w−1 &, 1/2\leq w<1 \end{cases}$$ Calcular la esperanza condicional $E(Y |X)$ donde $Y : [0, 1) \to \mathbb{R}$ es una función medible.
En primer lugar $Y$ no está definida más adelante. Estoy un poco confundido sobre el término "medibles de la función". De qué? Una función medible de $X$? Pero, a continuación, que acaba de ser $E(Y|X)=Y$. Así que asumo $Y$ a ser una variable aleatoria no necesariamente independiente de $X$.
Segundo vamos a definir esperanza condicional: $E(Y|X):=E(Y|\sigma(X))$ es una variable aleatoria $Z$ tal que $Z$ es medible w.r.t. $\sigma(X)$ $E(1_A Y)=E(1_A Z)$ todos los $A \in \sigma(X)$.
Bueno, vamos a elegir un $A \in \sigma(X)$ entonces existe un $B \in \mathcal{B}(\mathbb{\mathbb{R}})$ tal que $A=X^{-1}(B)$. Como Graham Kemp amablemente dio a entender, la correcta inversa de a $X$ es
$$X^{-1}\{x\}~=~\{w\in[0;1):x=X(w)\}~=~\begin{cases}\{x/2, (1+x)/2\}&:& 0\leq x<1\\ \{\}&:&\text{otherwise}\end{cases}$$
Ahora no estoy seguro de que hacer. Normalmente me gustaría empezar de $$E(1_A Y)= \int_A Y dP=\int_B y P_Y(dy)$$
pero ahora estoy en mi final. Alguien puede tomar de aquí y me muestran qué hacer? Estoy muy agradecido por toda la ayuda/sugerencia.
