Primaria ideales de Noetherian anillos que no son irreducibles

Question

Es sabido que el primer ideales son irreducibles (en el sentido de que no puede ser escrito como una intersección finita de ideales correctamente que los contienen). Mientras que para Noetherian anillos de una irreductible ideal es siempre fundamental, a la inversa falla en general. En una reciente serie de problemas que se me pidió dar un ejemplo de uno de los principales ideales de un Noetherian anillo, que no es irreducible. El ejemplo que se me ocurrió es que el anillo de $\mathbb{Z}_{p^2}[\eta]$ donde $p$ es el primer y $\eta$ es nilpotent elemento de orden $n > 2$, que tiene la $(p,\eta)$-primaria ideal $(p)\cap (\eta) = (p\eta)$.

Pero esto me puso a pensar: ¿qué tan grave es la falta de primaria ideales para ser irreductible en Noetherian anillos?

En particular, son los principales ideales de una Noetherian dominio irreductible, o es una condición más fuerte en el anillo que se requiere? Me encantaría ver adecuadamente fuertes criterios para todos los principales ideales de una Noetherian anillo de ser irreductible, o ejemplos de primaria ideales de "buen comportamiento" de los anillos que no son irreducibles.

Answer 1

La respuesta a la pregunta "son los principales ideales de una Noetherian dominio irreductible?" es "no". Tomar, por ejemplo, para el dominio $R=K[x,y]$ polinomios sobre el campo $K$. Ideal $I=(x^2,xy,y^2)$ $(x,y)$- primaria, pero se reduce debido a $I=(x,y^2)\cap (y,x^2)$. Desde $R$ es noetherian y dominio de la que tenemos un contraejemplo.

Answer 2

Hay una hermosa caracterización de primer, radical, irreductible y primaria de ideales entre monomio en $k[x_1, \dots, x_n]$:

Teorema. Deje $I$ ser un monomio ideal de $k[x_1, \dots, x_n]$ y deje $\mathcal{B}$ ser su mínima base. Entonces:

1. $I$ es máxima iff $\mathcal{B}=\{x_1, \dots, x_n \}$;
2. $I$ es el primer fib $\mathcal{B} = \{ x_{i_1}, \dots, x_{i_r} \}$;
3. $I$ es radical iff $\mathcal{B}$ se compone de la plaza libre de monomials;
4. $I$ es irreductible iff $\mathcal{B} = \{ x_{i_1}^{a_1}, \dots, x_{i_r}^{a_r} \}$;
5. $I$ es el principal iff $\mathcal{B} = \{ x_{i_1}^{a_1}, \dots, x_{i_r}^{a_r}, m_1, \dots, m_s \}$ donde $m_1,\dots, m_s$ son monomials en las variables $x_{i_1}, \dots, x_{i_r}$.

Así que en este caso es muy fácil producir un contra-ejemplo: $(x^2, y^2, xy)$. Su radical es máxima, por lo que es principal, pero es reducible porque $(x,y^2) \cap (x^2, y) = (x^2, y^2, xy)$.

Answer 3

Si no estoy cometer un error aquí, la implicación de primaria implica irreductible es en general falso. Por ejemplo, supongamos $R$ ser un noetherian locales de dominio de integrar la dimensión de $>1$, e $\mathfrak{m}$ un ideal maximal. A continuación, $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ es finito-dimensional espacio vectorial. Así, podemos escribir $\mathfrak{m}^2$ como una intersección finita de ideales estrictamente entre el$\mathfrak{m}$$\mathfrak{m}^2$. Sin embargo, $\mathfrak{m}^2$ $\mathfrak{m}$- primaria (con el apoyo de $R/\mathfrak{m}^2$ es sólo ${ \mathfrak{m}}$).